Question

В остроугольном треугольнике ABC угол при вершине A равен 45 градусам. Докажите, что периметр этого треугольника меньше удвоенной суммы его высот, опущенных из вершин B и C

Answer 1

Опустим высоты BH1 и CH2, BH1∩CH2=O, BH1=h1, CH2=h2. Тогда ∠AH1B=∠OH1C=∠CH2A=∠OH2B=90°.

Рассмотрим ΔAH2C. ∠H2СA=180°-90°-45°=45°=∠A(по условию)=> ΔAH2C равнобедренный => AH2=CH2=h2.

Рассмотрим ΔAH1B. ∠H1BA=180°-90°-45°=45°=∠A(по условию)=> ΔAH1B равнобедренный => AH1=BH1=h1.

Рассмотрим четырехугольник AH2OH1. ∠H2OH1=360°-90°-90°-45°=135°. => ∠BOH2=∠COH1=180°-135°=45°.

Рассмотрим ΔBH2O. ∠H2BO=180°-90°-45°=45°=∠BOH2(по доказанному ранее)=> ΔBH2O равнобедренный => BH2=OH2=a.

Рассмотрим ΔCH1O. ∠H1CO=180°-90°-45°=45°=∠COH1(по доказанному ранее)=> ΔCH1O равнобедренный => CH1=OH1=b.

BH1=h1=b+√(BH2²+OH2²)=a√2+b

CH2=h2=a+√(CH1²+OH1²)=a+b√2

Рассмотрим ΔBOC. По неравенству треугольника BC<BO+OC=√(BH2²+OH2²)+√(CH1²+OH1²)=a√2+b√2

Тогда P=AB+BC+AC=h2+a+h1+b+BC<h2+a+h1+b+a√2+b√2=h2+h1+(a+b√2)+(a√2+b)=h1+h2+h1+h2=2(h1+h2)

Ч.т.д.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся неравенством треугольника.

Пусть треугольник ABC остроугольный, где угол при вершине A равен 45 градусам.

Пусть h₁ и h₂ обозначают высоты, опущенные из вершин B и C соответственно. Периметр треугольника ABC обозначим как P.

По определению высоты, вершина B образует с основанием AC прямой угол, аналогично для вершины C и основания AB. Таким образом, получаем два прямоугольных треугольника в треугольнике ABC: AHB и AHC.

В прямоугольных треугольниках AHB и AHC, гипотенузы AH равны, так как это сторона треугольника ABC.

Теперь применим неравенство треугольника к каждому из прямоугольных треугольников:

AB + AH > BH AC + AH > CH

Суммируем эти два неравенства:

AB + AC + 2AH > BH + CH

Заметим, что AB + AC = P (периметр треугольника ABC), а также BH + CH = 2h₁ + 2h₂ = 2(h₁ + h₂) (удвоенная сумма высот).

Получаем:

P + 2AH > 2(h₁ + h₂)

Теперь остается доказать, что AH < h₁ + h₂.

Обратимся к прямоугольным треугольникам AHB и AHC. В этих треугольниках гипотенуза AH меньше суммы катетов (высот). То есть:

AH < h₁ AH < h₂

Суммируем эти два неравенства:

2AH < h₁ + h₂

Таким образом, мы доказали, что периметр треугольника P больше, чем удвоенная сумма его высот.

P + 2AH > 2(h₁ + h₂) P > 2(h₁ + h₂)

Следовательно, периметр треугольника ABC меньше, чем удвоенная сумма его высот, опущенных из вершин B и C.