Question

В параллелограмме ABCD точка K является серединой отрезка BC , точка O - точка пересечения диагоналей. Принимая за базисные векторы AB и AD, найти в этом базисе координаты векторов ВD, CO, KD.

Answer 1

.........................................

Answer 2

Параллелограмм ABCD:

cssCopy code
A ________ B
/            \

/
/
D ________ C

Так как K является серединой отрезка BC, можно записать вектор BK как половину вектора BC. Обозначим AB = u и AD = v. Тогда BC = AB - AD = u - v.

Таким образом, BK = 1/2 BC = 1/2 (u - v).

Точка O - точка пересечения диагоналей, поэтому можно записать вектор CO как сумму векторов CD и DO. Так как CD = -u, то CO = CD + DO = -u + DO.

Вектор KD можно записать как разность векторов BD и BK. Так как BD = u + v, то KD = BD - BK = (u + v) - (1/2) (u - v).

Теперь рассмотрим данные векторы в базисе AB и AD. Для этого представим векторы u и v как их координаты в этом базисе.

Пусть координаты вектора u в базисе AB и AD равны (x, y), а координаты вектора v равны (p, q).

Тогда векторы AB и AD можно записать следующим образом:

AB = x AB + y AD AD = p AB + q AD

Теперь найдем координаты векторов BD, CO и KD в этом базисе.

BD = u + v = (x, y) + (p, q) = (x + p, y + q)

BK = (1/2) (u - v) = (1/2) [(x, y) - (p, q)] = (1/2) (x - p, y - q) = (1/2) (x - p, q - y)

CD = -u = -(x, y) = (-x, -y)

DO = CO - CD = (-u + DO) = (-u + CO) = (-u + CO) = (-x, -y + CO) = (-x, -y + CO)

CO = -u + DO = (-x, -y) + (-x, -y + CO) = (-2x, -2y + CO)

KD = BD - BK = (x + p, y + q) - (1/2) (x - p, q - y) = (x + p - (1/2) (x - p), y + q - (1/2) (q - y)) = (x + p - 1/2 x + 1/2 p, y + q - 1/2 q + 1/2 y) = (1/2 x + 3/2 p, 3/2 y + 1/2 q)

Таким образом, координаты векторов BD, CO и KD в базисе AB и AD равны:

BD: (x + p, y + q) CO: (-2x, -2y + CO) KD: (1/2 x + 3/2 p, 3/2 y + 1/2 q)