Question

Дан треугольник с такими сторонами a, b, c, что а^2 + b^2 = 5с^2. Доказать, что медианы к сторонам а и b взаимно перпендикулярны.Дан треугольник с такими сторонами a, b, c, что а^2 + b^2 = 5с^2. Доказать, что медианы проведённые к сторонам а и b взаимно перпендикулярны.​ ПЛЕЗ РЕШИТЕ НАДО СРОЧНО!!!

Answer 1

Решение приложено

=============================================================

Answer 2

Давайте рассмотрим треугольник с заданными сторонами a, b и c. Пусть медианы проведены из вершин A и B к противоположным сторонам BC и AC соответственно, и пересекаются в точке M. Нам нужно доказать, что эти медианы взаимно перпендикулярны, т.е. AM ⊥ BM.

Для начала, давайте найдем длины медиан AM и BM.

Медиана AM делит сторону BC пополам, таким образом, BM = MC.

Теперь используем закон косинусов для треугольника ABC:

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc * cos(A) (1) b^2 = a^2 + c^2 - 2ac * cos(B) (2)

У нас также дано, что a^2 + b^2 = 5c^2. Подставим это в уравнения (1) и (2):

5c^2 = c^2 + c^2 - 2bc * cos(A) 5c^2 = a^2 + c^2 - 2ac * cos(B)

Теперь приведем уравнения к более удобному виду:

4c^2 = 2bc * cos(A) (3) 4c^2 = 2ac * cos(B) (4)

Теперь найдем площадь треугольника ABC двумя способами: через длины сторон a, b и c, а также через медианы AM и BM:

Площадь через стороны: S = (1/2) * a * b * sin(C) (5)

Площадь через медианы: S = (1/2) * BM * AM * sin(C) (6)

Мы знаем, что S = (1/2) * a * c, поэтому приравниваем уравнения (5) и (6) и заменяем BM на MC, а AM на MB (так как BM = MC и AM = MB):

(1/2) * a * b * sin(C) = (1/2) * MC * MB * sin(C)

Убираем sin(C) из обеих частей:

a * b = MC * MB (7)

Теперь воспользуемся тем, что треугольник BMC прямоугольный (так как BM = MC):

MC^2 + MB^2 = BC^2

Заменим MC и MB на a и b:

a^2 + b^2 = c^2 (8)

Но у нас изначально было дано, что a^2 + b^2 = 5c^2. Значит, у нас есть:

5c^2 = c^2

Это верно только при c = 0. Однако, по определению, сторона треугольника не может быть нулевой.

Поэтому наше предположение о том, что медианы AM и BM взаимно перпендикулярны, неверно.

Таким образом, утверждение о взаимной перпендикулярности медиан к сторонам a и b неверно для данного треугольника с условием а^2 + b^2 = 5с^2.