Question

1. В параллелограмме АВСD ∟А=45°, АВ= 3√2; ВС=5. Найти скалярное векторов: а) AD•AB; б) BA•BC; в) AD•BH 2. Вычислите скалярное произведение векторов a и b, если a {–4; 5}, b {–5; 4). 3. Вычислите косинус угла между векторами a и b, если a {–12; 5}, b {3; 4}. 4. Даны векторы m {3; у} и n {2; –6}. При каком значении у эти векторы перпендикулярны? 5. Найдите косинус угла B треугольника с вершинами А (3; 9), В (0; 6), С (4; 2).

Answer 1

Объяснение:

Внимание - жирные буквы - вектора!

1. Прежде заметим, что AB = CD = 3√2; AD = BC = 5; (рисунок) ∠A = ∠C = 45°; ∠B = ∠D = 180° - 45° = 135° (Свойства параллелограмма)

а) AD · AB = BC · AB = |BC| · |AB| · cos ∠A = 5 · 3√2 · cos 45° = 15√2 · √2 / 2 = 15

б) BA · BC = |BA| · |BC| · cos ∠B =  3√2 · 5 · cos 135° = -15√2 · √2/2 = -15

в) AD · BH = 0, так как AD ⊥ BH

2.  a {-4; 5}, b {-5; 4} - вектора

a · b = a₁b₁ + a₂b₂ = -4·(-5) + 5·4 = 20 + 20 = 40

3.  a {-12; 5}, b {3; 4} - вектора

cos ∠(a, b) = a · b / (|a| · |b|)  

a · b = -12·3 + 5·4 = -36 + 20 = -16

|a|² = (-12)² + 5² = 144 + 25 = 169 ⇒ |a| = √169 = 13

|b|² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 ⇒ |b| = √25 = 5

cos ∠(a, b) = -16 / (13·5) = -16/65

4.  m {3; y}, n {2; -6} - ненулевые вектора

m ⊥ n ⇔ m·n = 0 (m,n ≠ 0)

m·n = 3·2 + y·(-6) = 6 - 6y = 0

-6y = -6

y = 1

5. Для того, чтобы "выйти" на cos ∠B нам понадобятся вектора BA и BC. Найдем их координаты:

BA {3 - 0; 9 - 6} = {3; 3}

BC {4 - 0; 2 - 6} = {4; -4}

BA · BC = 3 · 4 + 3 · (-4) = 12 - 12 = 0.

Так как BA, BC ≠ 0 ⇒ BA ⊥ BC ⇒ cos ∠B = 0

Answer 2

Для решения данных задач, воспользуемся необходимыми формулами и свойствами векторов.

1. В параллелограмме ABCD: а) AD • AB (скалярное произведение между векторами AD и AB): Для нахождения скалярного произведения двух векторов, нужно умножить соответствующие координаты векторов и сложить полученные произведения. AD = DC (по свойству параллелограмма) AD = AB + BC (по свойству параллелограмма) AD = {3√2, 0} + {-3√2, 5} = {0, 5} AB • AD = (3√2 * 0) + (0 * 5) = 0 + 0 = 0

   б) BA • BC (скалярное произведение между векторами BA и BC): BA = -AB (по свойству векторов, противоположных сторон параллелограмма) BA = {-3√2, -5} BA • BC = (-3√2 * 5) + (-5 * 5) = -15√2 - 25

   в) AD • BH (скалярное произведение между векторами AD и BH): Вектор BH - это высота, опущенная из вершины B на сторону AD параллелограмма. Следовательно, вектор AD и BH перпендикулярны, и их скалярное произведение равно 0. AD • BH = 0

2. Вычислим скалярное произведение векторов a и b: a = {-4, 5} b = {-5, 4} a • b = (-4 * -5) + (5 * 4) = 20 + 20 = 40

3. Вычислим косинус угла между векторами a и b: Для вычисления косинуса угла между двумя векторами, можно воспользоваться следующей формулой: cos(θ) = (a • b) / (|a| * |b|) где |a| - длина вектора a (модуль), |b| - длина вектора b.

   Длины векторов: |a| = √((-4)^2 + 5^2) = √(16 + 25) = √41 |b| = √((-5)^2 + 4^2) = √(25 + 16) = √41

   Теперь подставим значения в формулу: cos(θ) = (40) / (√41 * √41) = 40 / 41

4. Найдем значение у, при котором векторы m и n перпендикулярны: Для того чтобы векторы m и n были перпендикулярны, их скалярное произведение должно быть равно 0. m • n = (3 * 2) + (y * -6) = 6 - 6y

   Приравниваем к 0 и решаем уравнение: 6 - 6y = 0 6y = 6 y = 1

   Таким образом, при у = 1 векторы m и n будут перпендикулярны.

5. Найдем косинус угла B треугольника ABC: Сначала найдем векторы AB и BC: AB = {0 - 3, 6 - 9} = {-3, -3} BC = {4 - 0, 2 - 6} = {4, -4}

   Затем вычислим скалярное произведение векторов AB и BC: AB • BC = (-3 * 4) + (-3 * -4) = -12 + 12 = 0

   Теперь найдем длины векторов AB и BC: |AB| = √((-3)^2 + (-3)^2) = √(9 + 9) = √18 |BC| = √(4^2 + (-4)^2) = √(16 + 16) = √32

   Теперь, используем формулу для косинуса угла между векторами: cos(B) = (AB • BC) / (|AB| * |BC|) = 0 / (√18 * √32) = 0

   Угол B треугольника ABC равен 90°, так как косинус угла равен 0, что соответствует прямому углу.