Question

В окружности провели хорды AB и CD, которые перпендикулярны друг другу и пересекаются в точке P так, что AP=20, BP=12, CP=10, DP=24. Найдите расстояние от точки P до центра окружности

Answer 1

Ответ:

√65

Объяснение:

Answer 2

Чтобы найти расстояние от точки P до центра окружности, можно использовать свойство перпендикулярности хорд. Это свойство гласит, что произведение отрезков хорд, образованных перпендикулярными сегментами, равно.

Таким образом, AP * PB = CP * PD.

Исходя из данной информации, мы можем составить следующее уравнение:

20 * 12 = 10 * 24.

240 = 240.

Уравнение выполняется, поэтому из этого следует, что хорды AB и CD перпендикулярны друг другу.

Теперь, чтобы найти расстояние от точки P до центра окружности, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора в треугольнике AOP, где O - центр окружности. Пусть OP - искомое расстояние.

Мы знаем, что AP = 20 и BP = 12. Тогда AO = AP - OP = 20 - OP, и BO = BP - OP = 12 - OP.

Применяя теорему Пифагора к треугольнику AOP, получаем:

AO^2 + OP^2 = AP^2, (20 - OP)^2 + OP^2 = 20^2.

Раскрываем скобки:

400 - 40OP + OP^2 + OP^2 = 400.

Собираем все слагаемые:

2OP^2 - 40OP = 0.

Делим обе части уравнения на 2:

OP^2 - 20OP = 0.

Факторизуем:

OP(OP - 20) = 0.

Из этого уравнения следует, что OP = 0 или OP - 20 = 0. Очевидно, что OP не может быть равно нулю, поэтому OP - 20 = 0. Решаем это уравнение:

OP = 20.

Таким образом, расстояние от точки P до центра окружности равно 20.