Question

Трапеция ABCD вписана в окружность, центр О которой лежит на большом основании AD. Найдите радиус вписанной окружности, если CD=9 см, BD=12см.

Answer 1

Если трапецию можно вписать в окружность - то она равнобедренная.

∠ABD опирается на диаметр окружности ⇒ ∠ABD = 90°.

По теореме Пифагора: AD = √(9² + 12²) = 15 см. Чтобы вписать окружность необходимо чтобы было выполнено равенство

AD + BC = AB + CD = 18

BC = 3

Используя неравенство треугольника, треугольник BCD со сторонами 3,12,9 не существует. Впредь такие задачи нужно анализировать и доказывать, что вписать окружность нельзя, а не пытаться вычислить радиус.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойством вписанной трапеции, согласно которому сумма длин диагоналей трапеции равна сумме длин оснований, умноженной на 2.

Пусть точка M — точка пересечения диагоналей. Обозначим BM = x и MD = y. Так как MO является радиусом вписанной окружности, мы можем обозначить его как r.

Из свойств вписанной трапеции: BM + MD = BD x + y = 12

Также, из свойства о радиусе, перпендикулярно проведенном из центра окружности к хорде, имеем: x^2 = r^2 - y^2 ---(1)

Из пифагоровой теоремы для треугольника BDM получаем: r^2 = x^2 + y^2 + (9/2)^2 ---(2)

Решим эти два уравнения методом подстановки. Подставим (1) в (2):

r^2 = (r^2 - y^2) + y^2 + (9/2)^2 r^2 = r^2 + (9/2)^2

Упрощаем уравнение:

(9/2)^2 = (9/2)^2 0 = 0

Так как равенство выполняется для любого значения r, радиус вписанной окружности может принимать любое значение, и поэтому не существует единственного радиуса вписанной окружности для данной трапеции ABCD с заданными размерами сторон CD = 9 см и BD = 12 см.