Question

Докажите, что площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой пересекаются под прямым углом, равна квадрату его высоты.​

Answer 1

Каждая задача на доказательство имеет несколько решений.

Вот пара легчайших способов решения данной задачи.

Answer 2

Площадь трапеции равна произведению высоты и средней линии. Докажем, что в равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями высота и средняя линия равны.

Соединим середины сторон трапеции. Стороны полученного (синего) четырехугольника параллельны диагоналям трапеции (т.к. являются средними линиями в треугольниках, отсекаемых диагоналями). Отсюда же следует, что угол синего четырехугольника равен углу между диагоналями. Параллелограмм с прямым углом - прямоугольник, его диагонали равны.

В равнобедренной трапеции отрезок, соединяющий середины оснований, является высотой (равнобедренная трапеция - усеченный равнобедренный треугольник, в котором медиана является высотой). Таким образом, высота и средняя линия данной трапеции равны как диагонали прямоугольника.

m=h => S=mh=h^2

Answer 3

Пусть у нас есть равнобедренная трапеция ABCD, где AB и CD - основания, а AC и BD - диагонали, пересекающиеся под прямым углом. Пусть h - высота трапеции (расстояние между основаниями AB и CD).

Чтобы доказать, что площадь равнобедренной трапеции равна квадрату ее высоты, мы можем использовать следующий подход:

1. Рассмотрим треугольник ABC, который образуется основанием AB, диагональю AC и половиной высоты h/2. Треугольник ABC - прямоугольный, так как AC и BD пересекаются под прямым углом.

2. Площадь треугольника ABC равна половине произведения его катетов: S(ABC) = 1/2 * AB * (h/2)

3. Рассмотрим треугольник ACD, который образуется основанием CD, диагональю AC и половиной высоты h/2. Треугольник ACD - также прямоугольный.

4. Площадь треугольника ACD равна половине произведения его катетов: S(ACD) = 1/2 * CD * (h/2)

5. Общая площадь треугольников ABC и ACD равна сумме их площадей: S(ABC) + S(ACD) = 1/2 * AB * (h/2) + 1/2 * CD * (h/2) = 1/4 * (AB + CD) * h

6. Равнобедренная трапеция ABCD может быть разбита на два таких треугольника (ABC и ACD), и их общая площадь равна площади трапеции: S(trapezoid ABCD) = S(ABC) + S(ACD) = 1/4 * (AB + CD) * h

7. Поскольку в равнобедренной трапеции основания AB и CD равны (AB = CD), то можно записать: S(trapezoid ABCD) = 1/4 * (AB + AB) * h = 1/4 * 2AB * h = 1/2 * AB * h

8. Заметим, что 1/2 * AB * h является площадью прямоугольника со сторонами AB и h. Таким образом, площадь равнобедренной трапеции равна квадрату ее высоты: S(trapezoid ABCD) = (AB * h)^2 = h^2

Таким образом, мы доказали, что площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой пересекаются под прямым углом, равна квадрату ее высоты.