Question

Доведіть що квадрат гіпотенузи прямокутного трикутника в 1,25 разу менший ніж сума кважратів медіан проведених до катетів

Answer 1

Доведення. Див. фото.

Answer 2

Для доведення даної твердження, спочатку, давайте позначимо сторони прямокутного трикутника і медіани. Нехай у нас є прямокутний трикутник ABC, де AB і BC є катетами, а AC є гіпотенузою. Нехай M і N будуть точками перетину медіан з катетами AB і BC відповідно.

Тепер, давайте позначимо довжини сторін трикутника: AB = c, BC = a, AC = b.

Медіани AM і BN поділяють катети AB і BC навпіл, тобто AM = BM = c/2 і BN = CN = a/2.

Ми хочемо довести, що квадрат гіпотенузи (b^2) в 1.25 рази менший, ніж сума квадратів медіан (AM^2 + BN^2).

Тепер обчислимо значення AM^2 + BN^2: AM^2 = (c/2)^2 = c^2/4 BN^2 = (a/2)^2 = a^2/4

AM^2 + BN^2 = c^2/4 + a^2/4

Тепер обчислимо квадрат гіпотенузи (b^2): b^2 = AC^2 = c^2 + a^2

За умовою задачі, нам потрібно довести, що b^2 < 1.25 * (AM^2 + BN^2): c^2 + a^2 < 1.25 * (c^2/4 + a^2/4)

Тепер помножимо обидві сторони на 4 для спрощення виразу: 4 * (c^2 + a^2) < 1.25 * (c^2 + a^2)

Тепер можемо скоротити спільний множник (c^2 + a^2) з обох боків: 4 < 1.25

Звідси видно, що дане твердження не є правдивим, тому що 4 не менше за 1.25. Це означає, що квадрат гіпотенузи прямокутного трикутника не може бути в 1,25 рази менший, ніж сума квадратів медіан, як і було задано в умові. Таким чином, дане твердження є хибним.