Question

У трикутника ABC сторона АС на 6см більша за сторону АВ , знайти бісектрису кута А якщо вона ділить сторону ВС на відрізки завдовжки 5см і 10см

Answer 1

Нехай AB = x см, тоді AC = x+6 см і нехай AE - бісектриса кута A.

За теоремою бісектриси

$\dfrac{BE}{CE}=\dfrac{AB}{AC}\\\\ \dfrac{5}{10}=\dfrac{x}{x+6};\\ \\ x=6$

Отже, AB = 6 см і AC = 12 см.

$AE=\sqrt{AB\cdot AC-BE\cdot CE}=\sqrt{6\cdot 12-5\cdot 10}=\sqrt{22}$ см

Розглянемо випадок, коли BE = 10 см і CE = 5 см.

$\dfrac{10}{5}=\dfrac{x}{x+6}\\ \\ 2x+12=x\\ \\ x=-12$

Цей випадок можна не розглядати, оскільки сторона не може бути від'ємною.

Відповідь: $\sqrt{22}$ см

Answer 2

Для знаходження бісектриси кута А в трикутнику ABC, спочатку потрібно знайти довжини сторін ВС і АВ. Після цього, використовуючи властивості бісектриси, ми зможемо знайти бісектрису кута А.

Позначимо сторону ВС як x см. Тоді, сторона АВ буде (x - 6) см, оскільки сторона АС на 6 см більша за сторону АВ.

Згідно з теоремою про бісектриси, яка стверджує, що бісектриса кута ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні сусіднім сторонам, ми можемо записати наступне співвідношення:

$\frac{{BV}}{{VC}} = \frac{{AB}}{{AC}}$.

Знаємо, що $\frac{{BV}}{{VC}} = \frac{{5 \, \text{см}}}{{10 \, \text{см}}} = \frac{1}{2}$ (згідно з умовою задачі).

Тепер підставимо відомі значення сторін трикутника ВС та АС:

$\frac{{x - 6}}{{6}} = \frac{1}{2}$.

Розв'яжемо це рівняння:

$2(x - 6) = 6$,

$2x - 12 = 6$,

$2x = 18$,

$x = 9$.

Таким чином, сторона ВС дорівнює 9 см, а сторона АВ дорівнює $9 - 6 = 3$ см.

Тепер, коли ми знаємо довжини сторін трикутника, можемо знайти бісектрису кута А, позначимо її як BD.

Для цього скористаємося теоремою про бісектриси в трикутнику, яка говорить, що бісектриса кута ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні сумі сусідніх сторін:

$\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}$.

Підставимо відомі значення:

$\frac{{BD}}{{5}} = \frac{{3}}{{6}}$.

Розв'яжемо рівняння:

$3 \cdot 5 = BD$,

$BD = 15$.

Таким чином, бісектриса кута А (BD) дорівнює 15 см.