Question

Записать в матричной форме и решить систему уравнений с помощью обратной матрицы:

Answer 1

Будем считать, что в задании присутствует третья переменная - z.

Дана система линейных уравнений:

2x + 3y + 2z = 1

x + y – 42z = 0

4x +5y – 32z = 1.

Решение: записываем систему уравнений в матричной форме.  

A = 2    3      2         B = 1

     1     1    -42             0

    4      5    -32             1

X = xyz

A • X = B, значит, X = A-1 • B.

Найдем обратную матрицу методом алгебраических дополнений.

Найдем детерминант матрицы А:  

2       3        2 |         2        3

1       1     -42 |        1        1

4       5     -32 |        4         5   =   -64 – 504 + 10 + 96 + 420 – 8 = -50.

det A = -50

Определитель матрицы А отличен от нуля, следовательно обратная матрица  

A-1 существует. Для вычисления обратной матрицы найдем дополнительные миноры и алгебраические дополнения матрицы А.

• Найдем минор M11 и алгебраическое дополнение A11. В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 1.

M11 = 1   -42

         5     32 = 1•(-32) - 5•(-42) = -32 + 210 = 178

A11 = (-1)1+1M11 = 178.

• Найдем минор M12 и алгебраическое дополнение A12. В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 2.

M12 = 1    -42

        4    -32 = 1•(-32) - 4•(-42) = -32 + 168 = 136

A12 = (-1)1+2M12 = -136.

• Найдем минор M13 и алгебраическое дополнение A13. В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 3.

M13 = 1      1

         4      5 =  1•5 - 4•1 = 5 - 4 = 1

A13 = (-1)1+3M13 = 1.

• Найдем минор M21 и алгебраическое дополнение A21. В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 1.

M21 = 3      2

       -3      2 = 3•(-32) - 5•2 = -96 - 10 = -106

A21 = (-1)2+1M21 = 106.

• Найдем минор M22 и алгебраическое дополнение A22. В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 2.

M22 = 2       2

        4     -32 = 2•(-32) - 4•2 = -64 - 8 = -72

A22 = (-1)2+2M22 = -72.

• Найдем минор M23 и алгебраическое дополнение A23. В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 3.

M23 = 2      3

        4       5 = 2•5 - 4•3 = 10 - 12 = -2

A23 = (-1)2+3M23 = 2.

• Найдем минор M31 и алгебраическое дополнение A31. В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 1.

M31 = 3        2

        1       -42 = 3•(-42) - 1•2 = -126 - 2 = -128

A31 = (-1)3+1M31 = -128.

• Найдем минор M32 и алгебраическое дополнение A32. В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 2.

M32 = 2        2

        1        -42 = 2•(-42) - 1•2 = -84 - 2 = -86

A32 = (-1)3+2M32 = 86.

• Найдем минор M33 и алгебраическое дополнение A33. В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 3.

M33 = 2        3

        1        1 = 2•1 - 1•3 = 2 - 3 = -1

A33 = (-1)3+3M33 = -1.

Выпишем союзную матрицу (матрицу алгебраических дополнений):

C* = 178      -136       1

      106       -72         2

     -128        86        -1.

Транспонированная союзная матрица:

C*T = 178      106         -128

      -136       -72          86

          1           2           -1.

Найдем обратную матрицу:

A-1 = C*T/det A = -89/25       -53/25           64/25

                            68/25        36/25          -43/25

                            -1/50        -1/25              1/50.

Найдем решение:

X = A-1•B = -89/25         -53/25             64/25         1

                   68/25          36/25            -43/25    •    0     =

                   -1/50          -1/25                1/50          1

                    (-89/25)•1 + (-53/25)•0 + (64/25)•1

             =     (68/25)•1 + (36/25)•0  + (-43/25)•1     =

                    (-1/50)•1  + (-1/25)•0   + (1/50)•1

 

                     -89/25 + 0 + 64/25           -1

             =      68/25 + 0 – 43/25     =      1    

                    -1/50 + 0 + 1/50                  0

Ответ:

x = -1,  y = 1,   z = 0.

Так как не все знаки отображены верно из за различий с World транскрипцией, то во вложении дан оригинал ответа.

Answer 2

Для записи системы уравнений в матричной форме, позволяющей решить ее с помощью обратной матрицы, мы должны выразить все уравнения в виде AX = B, где A - матрица коэффициентов, X - вектор неизвестных, B - вектор правых частей.

Предположим, у нас есть следующая система уравнений:

a11 * x1 + a12 * x2 + a13 * x3 = b1 a21 * x1 + a22 * x2 + a23 * x3 = b2 a31 * x1 + a32 * x2 + a33 * x3 = b3

Мы можем записать ее в матричной форме следующим образом:

| a11 a12 a13 | | x1 | | b1 | | a21 a22 a23 | * | x2 | = | b2 | | a31 a32 a33 | | x3 | | b3 |

Теперь, чтобы решить эту систему с помощью обратной матрицы, мы можем умножить обе стороны на обратную матрицу A^(-1):

A^(-1) * A * X = A^(-1) * B

Так как A^(-1) * A даст единичную матрицу, мы получим:

X = A^(-1) * B

Таким образом, чтобы найти решение системы, нам нужно вычислить обратную матрицу A^(-1) и умножить ее на вектор правых частей B.

Пожалуйста, предоставьте конкретные значения коэффициентов a11, a12, a13, a21, a22, a23, a31, a32, a33 и правых частей b1, b2, b3, чтобы я мог решить систему для вас.