Question

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой ВС=18. Найдите, в каком интервале лежит величина равная отношению отрезков АМ к МВ, если окружность, проходящая через середины АС и ВС касается стороны АВ в точке М.

Answer 1

AR=RC, BT=TC ⇒ RT - средняя линия, RT=AB:2.

OR=OT как радиусы, поэтому O∈OF, где OF - серединный перпендикуляр к RT. Окружность касается AB в т. M, поэтому OM⊥AB.

M∈FO т.к. AB║RT, как ср. линия.

ARFM - прямоугольник, как параллелограмм с прямым угом, поэтому AM=RF=RT:2=(AB:2):2=AB/4

Пусть AB=4x, тогда AM=x и MB=4x-x=3x.

AM:MB=x:3x=1:3

$\dfrac13 \in (0,\! 32;0,\! 34)$

Ответ: (0,32; 0,34).

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте обозначим точки:

1. Точка O - центр окружности, проходящей через середины АС и ВС.
2. Точка М - точка касания этой окружности со стороной АВ.
3. Точка N - середина отрезка АС.
4. Точка К - середина отрезка ВС.

Таким образом, треугольник АКМ - прямоугольный треугольник, в котором АК = КМ = НО = 9 (половина гипотенузы ВС). Также треугольник АКМ подобен треугольнику АВС с коэффициентом подобия 1/2 (из-за соотношения сторон в подобных треугольниках).

Теперь рассмотрим отношение отрезков АМ к МВ:

Отношение АМ к МВ = АК / КМ = 9 / 9 = 1.

Итак, величина отношения отрезков АМ к МВ равна 1. Таким образом, ответ: отношение равно 1, и оно лежит в интервале от 1 до 1.