Question

Вписане коло прямокутного трикутника АВС дотикається до гіпотенузи АВ у точці М. Знайдіть радіус цього кола, якщо АМ=3см, ВМ=10см

Answer 1

За властивістю дотичної AM = AE = 3 см; BM = BD = 10 см; CE = CD = x см. Маємо AC = x + 3 см, BC = x + 10 см. За теоремою Піфагора

(x + 10)² + (x + 3)² = 13²

x² + 20x + 100 + x² + 6x + 9 = 169

x² +13x - 30 = 0

Розв'язуючи квадратне рівняння, отримаємо x₁ = 2 і x₂ = -15. Значення x₂ = -15 не задовольняє умові. Отже, AC = 5 см і BC = 12 см.

r = (a + b - c)/2 = (5 + 12 - 13)/2 = 3 см

Answer 2

Для вирішення цієї задачі скористаємось властивістю вписаного кола прямокутного трикутника, що стверджує, що точка дотику до гіпотенузи розділяє її на дві ділянки, довжини яких є гармонічними середніми між гіпотенузою і катетами.

У нашому випадку, довжини катетів АМ і ВМ дані: АМ = 3 см ВМ = 10 см

Радіус вписаного кола позначимо як r.

Застосуємо формулу для гармонічних середніх між АМ, ВМ і гіпотенузою АВ:

r = √(АМ * ВМ)

Підставляючи значення, отримуємо:

r = √(3 см * 10 см) r = √(30 см²) r ≈ 5.48 см

Таким чином, радіус вписаного кола дорівнює приблизно 5.48 см.