Question

Знайдіть периметр прямокутного трикутника якщо один із його катетів дорівнює 4 см а протилежний йому кут- 60°​

Answer 1

Тогда другой острый угол 30 градусов и против него лежит катет, равный половине гипотенузы, пусть этот катет х, тогда гипотенуза 2х, по Пифагору 16+х²=4х²; х²=16/3; х=4/√3=4√3/3 см, гипотенуза 2*4√3/3=8√3/3, тогда периметр 4+4√3/3+8√3/3=4+12√3/3=(4+4√3) см

Answer 2

Для знаходження периметра прямокутного трикутника спочатку потрібно знайти довжини обох катетів, а потім знайти гіпотенузу.

Зауважимо, що у прямокутному трикутнику, в якому один із кутів дорівнює 90°, другий кут має 60°, а третій кут буде 30° (оскільки сума всіх кутів трикутника дорівнює 180°).

Так як один з катетів дорівнює 4 см, тоді за теоремою синусів можемо знайти довжину іншого катета:

$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)}$

де $a$ та $b$ - катети, $A$ та $B$ - кути, протилежні до катетів $a$ та $b$ відповідно.

Підставляючи відомі значення:

$\frac{4}{\sin(60^\circ)} = \frac{b}{\sin(30^\circ)}$

$\frac{4}{\sqrt{3}/2} = \frac{b}{1/2}$

$b = \frac{4}{\sqrt{3}/2} \times \frac{2}{1} = \frac{8}{\sqrt{3}} \approx 4.62\, \text{см}$

Тепер, знаючи довжини обох катетів $a = 4 \, \text{см}$ та $b \approx 4.62 \, \text{см}$, можемо знайти довжину гіпотенузи $c$ за допомогою теореми Піфагора:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + (4.62)^2} \approx 6.11\, \text{см}$

Тепер можемо знайти периметр трикутника:

$P = a + b + c = 4 + 4.62 + 6.11 \approx 14.73\, \text{см}$

Отже, периметр прямокутного трикутника приблизно дорівнює 14.73 см.