Question

В треугольник вписана окружность радиуса 4 см. Найдите длины сторон треугольника, если одна из них разделена точкой касания на отрезки длиной 4 см и 5 см.

Answer 1

По свойству касательных: $BF=BE=4$ и $FC=CD=5$. Пусть $AE=AD=x$. Имеем $AB=x+4;~~ BC=9;~~ AC=x+5$

Площадь треугольника: $S=pr=\dfrac{x+4+9+x+5}{2}\cdot 4=36+4x$ с другой стороны $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{(x+9)\cdot 5\cdot x\cdot 4}$

Приравнивая площадь, мы решим уравнение относительно x

$36+4x=2\sqrt{5x(x+9)}\\ \\ 2(x+9)=\sqrt{5x(x+9)}\\ \\ \sqrt{x+9}\cdot \Big(2\sqrt{x+9}-\sqrt{5x}\Big)=0\\ \\ x_1=-9$

Этот корень не удовлетворяет условию.

$2\sqrt{x+9}-\sqrt{5x}=0\\ \\ 2\sqrt{x+9}=\sqrt{5x}\\ \\ 4(x+9)=5x\\ \\ 4x+36=5x\\ \\ x=36$

Таким образом, длины сторон треугольника: 40 см, 9 см и 41 см.

Answer 2

Ответ:

Объяснение:

тр. АВС,  О- центр вписанной окружности, ( радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен этой прямой), проведем ОК _I_ АВ,  ОК=R=4,  АК=4, КВ=5,  АВ=4+5=9,  из т. О проведем _I_ ОР на сторону АС,  ОР=R=4,

АК=АР=4(по теор. о касательных к окружности),  тогда АКОР-квадрат и

тр-кАВС прямоуг-й,  из т. О проведем ОМ _I_  ВС,  ОМ=R,  М-точка касания,  ВК=ВМ=5,  СР=СМ=х,  ВС=5+х,  АС=4+х,  по теор. Пифагора  ВС^2=AB^2+AC^2,   (5+x)^2=81+(4+x)^2,   25+10x+x^2=81+16+8x+x^2,

2x=72,  x=36,    ВС=5+36=41,  АС=4+36=40,  отв. 9,40,41

Answer 3

Для решения этой задачи, обозначим стороны треугольника как a, b и c. Пусть точка касания окружности с треугольником делит сторону a на отрезки длиной 4 см и 5 см.

Заметим, что точка касания окружности с треугольником является точкой пересечения всех биссектрис треугольника. Таким образом, длина каждого из отрезков, на которые сторона a разделяется этой точкой, равна половине суммы длин смежных сторон треугольника. Таким образом, мы можем записать следующее:

a1 + a2 = a/2, где a1 = 4 см и a2 = 5 см.

Теперь нам нужно определить длину стороны a. Для этого воспользуемся формулой для радиуса вписанной окружности треугольника:

r = (P/2) / s, где r - радиус вписанной окружности, P - периметр треугольника и s - полупериметр треугольника.

Мы знаем, что радиус вписанной окружности равен 4 см, поэтому:

4 = (P/2) / s.

Перепишем это уравнение для периметра P:

P = 8s.

Теперь, чтобы найти периметр P, нам нужно определить сумму длин всех сторон треугольника. Используем известное соотношение для радиуса вписанной окружности:

r = sqrt((s-a)(s-b)(s-c) / s), где a, b и c - стороны треугольника, а s - полупериметр.

Также известно, что r = 4 см и a1 + a2 = a/2. Подставим это в уравнение для радиуса:

4 = sqrt((s - a/2)(s - b)(s - c) / s).

Возводим обе части уравнения в квадрат:

16 = (s - a/2)(s - b)(s - c) / s.

Теперь заменим значение P:

16 = (8s - a/2)(s - b)(s - c) / (8s).

Упростим уравнение, умножив обе части на 8s:

128s = (8s - a/2)(s - b)(s - c).

Раскроем скобки:

128s = (8s^2 - 4as + ab/2 - 8bs + abc/2 - ac/2 - b^2s + bc/2).

Теперь перенесем все члены в левую сторону уравнения:

0 = 8s^2 - 4as + ab/2 - 8bs + abc/2 - ac/2 - b^2s + bc/2 - 128s.

Соберем все члены в один многочлен:

8s^2 - 4as - b^2s + (ab - 8b + bc)s + (abc - ac)/2 - 128s = 0.

Поскольку данное уравнение является квадратным относительно переменной s, мы можем найти его корни и определить полупериметр s. Зная полупериметр, мы можем найти длины сторон треугольника, зная их отношения к s. Однако решение данного уравнения является достаточно сложной задачей.