Question

Даны точки A(-2; -3) и B(-1; -6). Найти множество точек C(x; y) плоскости таких, что S(ABC) = 11.

Answer 1

Для того чтобы найти множество точек C(x; y) плоскости, таких что S(ABC) = 11 (где S(ABC) обозначает площадь треугольника ABC), нужно сначала найти длину стороны AB и затем использовать формулу для площади треугольника, чтобы определить координаты точки C.

1. Найдем длину стороны AB. Длина стороны AB равна расстоянию между точками A и B. Используем формулу для расстояния между двумя точками на плоскости: $AB = \sqrt{ (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 }$

Где (x_A, y_A) = (-2, -3) и (x_B, y_B) = (-1, -6). $AB = \sqrt{ (-1 - (-2))^2 + (-6 - (-3))^2 }$ $AB = \sqrt{ (1)^2 + (-3)^2 }$ $AB = \sqrt{1 + 9}$ $AB = \sqrt{10}$

2. Теперь используем формулу для площади треугольника через длины его сторон: $S(ABC) = \frac{1}{2} \times AB \times h,$

где h - высота треугольника, проведенная из точки C.

3. Поскольку высота треугольника проведена из точки C, она перпендикулярна стороне AB и делит треугольник на две равные части. Таким образом, для треугольника с площадью 11, высота равна: $h = \frac{2 \times 11}{AB}$ $h = \frac{22}{\sqrt{10}}$

4. Теперь, зная высоту треугольника и координаты вершины A, мы можем найти координаты точки C.

Пусть C(x, y). Тогда точка C лежит на прямой, проходящей через точки A и B, и перпендикулярной AB. Следовательно, уравнение прямой имеет вид: $y - y_A = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \times (x - x_A)$ $y + 3 = \frac{-6 - (-3)}{-1 - (-2)} \times (x + 2)$ $y + 3 = \frac{-3}{1} \times (x + 2)$ $y + 3 = -3x - 6$ $y = -3x - 9$

Теперь у нас есть уравнение прямой, на которой должна лежать точка C. Но так как мы знаем, что высота проведена из точки C, то точка C лежит на середине между A и B (половина стороны AB).

Найдем координаты точки C, зная координаты точек A и B: $x_C = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{-2 + (-1)}{2} = -\frac{3}{2}$ $y_C = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{-3 + (-6)}{2} = -\frac{9}{2}$

Таким образом, множество точек C(x, y) таких, что S(ABC) = 11, это множество всех точек, лежащих на прямой y = -3x - 9 и находящихся на расстоянии $\frac{\sqrt{10}}{2}$ от точки (-3/2, -9/2).