Question

Объем треугольной пирамиды равен V. Найдите объем пирамиды, высота которой совпадает с высотой данной пирамиды, а вершины основания - середины сторон треугольника, лежащего в основании данной пирамиды.

Answer 1

Ответ:

0,25V

Объяснение:

Треугольник с вершинами в серединах сторон другого треугольника подобен этому треугольнику, с коэффициентом подобия 0,5. Это доказывается очень просто.

Стороны треугольника вершины которого середины другого являются средними линиями большего треугольника. Значить они пропорциональны, с коэффициентом пропорциональности равным 0,5.

Получается, что площадь основания внутренней пирамиды составляет (0,5)²=0,25, то есть четверть площади основания большей пирамиды.

Так как высоты пирамид равны, то их объёмы прямо пропорциональны площадям оснований. Из чего следует, что объём меньшей пирамиды равен 0,25V

Answer 2

Для решения этой задачи можно использовать принцип подобия пирамид. Если высота пирамиды остается неизменной, а основание преобразуется, то объем пирамиды также будет изменяться пропорционально.

Пусть у нас исходная треугольная пирамида имеет объем V. Тогда пусть ее основание - треугольник ABC, и высота опущена из вершины A.

Чтобы найти объем новой пирамиды, где вершины основания - середины сторон треугольника ABC, нужно найти отношение объемов этих пирамид. По свойствам подобных пирамид отношение объемов равно кубу отношения длин соответствующих высот.

В данном случае, основание новой пирамиды - это треугольник A'B'C', где A', B', C' - середины сторон треугольника ABC. Поскольку середины сторон образуют другой треугольник подобный исходному, то отношение длин высот этих пирамид равно отношению длин сторон соответствующих треугольников.

Известно, что середины сторон треугольника делят его стороны пополам. Поэтому отношение длин сторон треугольников ABC и A'B'C' равно 1:2.

Теперь можем записать отношение объемов: (объем новой пирамиды) / V = (отношение длин высот)^3 = (1/2)^3 = 1/8.

Таким образом, объем новой пирамиды будет равен 1/8 от объема исходной пирамиды: (объем новой пирамиды) = V * 1/8 = V/8.

Таким образом, объем пирамиды с вершиной в точке пересечения высот и с основанием в серединах сторон исходного треугольника равен V/8.