Question

Известно, что в выпуклом четырехугольнике углы BAD и BCD — тупые. Докажите, что AC < BD. Вроде как нужна вспомогательная окружность.

Answer 1

Т.к. ABCD выпуклый и ∠ABD = ∠ACD, получаем, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность. А тогда ∠DAC = ∠DBC как вписанные углы, которые опираются на одну дугу CD.

Answer 2

Для доказательства неравенства AC < BD в данном выпуклом четырехугольнике ABCD, действительно, нужно использовать вспомогательную окружность. Давайте рассмотрим следующую конструкцию:

1. Построим вписанную окружность треугольника BCD (так как угол BCD тупой) и обозначим ее центр как O. Пусть данная окружность касается сторон BC, CD и BD в точках E, F и P соответственно.

2. Соединим точки O и A.

3. Так как O - центр вписанной окружности, то угол BOP прямой (дуга BC является диаметром).

4. Поскольку угол BAD тупой, дуга BD находится внутри окружности и угол BPD острый.

5. В треугольнике BOP угол BOP острый (поскольку угол BOP прямой и угол BPD острый), следовательно, гипотенуза BO длиннее катета BP, то есть BO > BP.

6. Аналогично в треугольнике COD угол COD острый (поскольку угол COD прямой и угол CPD острый), следовательно, гипотенуза CO длиннее катета CP, то есть CO > CP.

7. Теперь рассмотрим треугольник AOC. Мы знаем, что AO = BO + CO (так как O - центр вписанной окружности треугольника BCD).

8. Из пунктов 5 и 6 следует, что AO > BP + CP.

9. Так как точка P лежит на отрезке BD, то AO > BD.

10. Также из пункта 7 следует, что AC < AO (так как AC является одной из сторон треугольника AOC).

11. Таким образом, мы получаем, что AC < AO > BD.

12. Итак, мы доказали неравенство AC < BD для заданного выпуклого четырехугольника ABCD.

Поэтому можно заключить, что в данном четырехугольнике углы BAD и BCD являются тупыми и AC < BD.