Question

Четырехугольник ABCD задан координатами своих вершин A(-1; 0), B(2; 3),C(3; 0), D(-1; -1). Найдите косинус острого угла между диагоналями AC и BD.

Answer 1

Чтобы найти косинус острого угла между диагоналями AC и BD четырехугольника ABCD, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти длины диагоналей AC и BD.
2. Найти скалярное произведение векторов AC и BD.
3. Используя скалярное произведение и длины векторов, вычислить косинус угла между ними.

Шаг 1: Найдем длины диагоналей AC и BD.

Длина диагонали AC: AC = √((x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2) = √((3 - (-1))^2 + (0 - 0)^2) = √(4^2 + 0^2) = √16 = 4

Длина диагонали BD: BD = √((x_D - x_B)^2 + (y_D - y_B)^2) = √((-1 - 2)^2 + (-1 - 3)^2) = √((-3)^2 + (-4)^2) = √(9 + 16) = √25 = 5

Шаг 2: Найдем скалярное произведение векторов AC и BD.

Скалярное произведение двух векторов (a, b) и (c, d) равно a * c + b * d.

AC = (x_C - x_A, y_C - y_A) = (3 - (-1), 0 - 0) = (4, 0) BD = (x_D - x_B, y_D - y_B) = (-1 - 2, -1 - 3) = (-3, -4)

Скалярное произведение AC и BD: AC · BD = (4 * (-3)) + (0 * (-4)) = -12 + 0 = -12

Шаг 3: Вычислим косинус угла между диагоналями.

Косинус угла между двумя векторами a и b равен cos(θ) = (a · b) / (|a| * |b|), где |a| и |b| - длины векторов a и b соответственно.

Таким образом, косинус угла между диагоналями AC и BD: cos(θ) = (AC · BD) / (|AC| * |BD|) = -12 / (4 * 5) = -12 / 20 = -3/5.

Ответ: Косинус острого угла между диагоналями AC и BD равен -3/5.