Question

Четырехугольник ABCD задан координатами своих вершин A (-1; 1), B (3; 3), C (2; -2), D (-2; -1). Найдите косинус острого угла между его диагоналями.

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

Для нахождения косинуса острого угла между диагоналями четырехугольника ABCD, мы можем использовать свойство скалярного произведения векторов. Давайте обозначим векторы диагоналей как $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{BD}$, а их скалярное произведение обозначим как $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}$.

Координаты вектора $\overrightarrow{AC}$ можно получить как разницу координат конечной точки (C) и начальной точки (A):

$$\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} x_C - x_A \\ y_C - y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - (-1) \\ (-2) - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \end{pmatrix}$$

Координаты вектора $\overrightarrow{BD}$ можно получить аналогичным образом:

$$\overrightarrow{BD} = \begin{pmatrix} x_D - x_B \\ y_D - y_B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-2) - 3 \\ (-1) - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ -4 \end{pmatrix}$$

Теперь вычислим скалярное произведение:

$$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = (3) \cdot (-5) + (-3) \cdot (-4) = -15 + 12 = -3$$

Далее, вычислим длины векторов $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{BD}$:

$$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{18}$$

$$|\overrightarrow{BD}| = \sqrt{(-5)^2 + (-4)^2} = \sqrt{41}$$

Теперь можно использовать определение косинуса угла между векторами через скалярное произведение и длины векторов:

$$\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{AC}| \cdot |\overrightarrow{BD}|} = \frac{-3}{\sqrt{18} \cdot \sqrt{41}}$$

Подставив числовые значения и вычислив, получим приближенное значение косинуса угла $\theta$.