Question

В треугольнике ABC из вершины B проведены высоты BH найдите стороны вс треугольника, если высота BH равна 8, а углы CAB и ABC равны 45* и 105* сответсвенно.

Answer 1

Объяснение:

ΔАВС, ∠С=180°-45°-105°=30°.

ΔНВС-прямоугольный , по св. угла 30°,

НВ=1/2*ВС,   ВС=16.

Answer 2

Для решения этой задачи, нам потребуется использовать свойства треугольников и тригонометрические соотношения. Давайте обозначим стороны треугольника ABC следующим образом: AB = a, BC = b, и AC = c.

Следующие факты из геометрии нам пригодятся:

1. Высота BH, опущенная из вершины B на сторону AC, разбивает треугольник ABC на два подобных треугольника: ABH и CBH.
2. Из подобия этих треугольников можно выразить отношение сторон: ABH/CBH = BH/HC = AB/BC (так как высота является общим катетом для обоих треугольников).

Теперь рассмотрим треугольник ABH: AB = a (из обозначения сторон) BH = 8 (дано в условии) Угол BAH = 90° - 45° = 45° (так как высота является перпендикуляром к основанию и делит его пополам)

Мы можем использовать тригонометрию для нахождения стороны AH: tg(45°) = AH / BH 1 = AH / 8 AH = 8

Теперь мы знаем сторону AH и сторону AB, и можем найти сторону HB: HB^2 = AB^2 - AH^2 HB^2 = a^2 - 8^2 HB^2 = a^2 - 64 HB = √(a^2 - 64)

Теперь вернемся к подобию треугольников ABH и CBH: ABH/CBH = AB/BC AH/HB = a/b 8/√(a^2 - 64) = a/b

Теперь нам осталось использовать угол ABC = 105° для определения отношения сторон a/b с помощью тригонометрии: cos(105°) = b/a

Таким образом, у нас есть система уравнений: 8/√(a^2 - 64) = a/b cos(105°) = b/a

Можно решить эту систему численно для a и b. Но предполагая, что у вас нет возможности использовать калькулятор, вы можете использовать тригонометрические тождества для косинуса 105°, чтобы выразить a через b: cos(105°) = cos(45° + 60°) = cos(45°)cos(60°) - sin(45°)sin(60°) = (1/√2)(1/2) - (1/√2)(√3/2) = (1 - √3)/2

Теперь подставим это в первое уравнение: 8/√(a^2 - 64) = a/b 8b = a√(a^2 - 64) 64b^2 = a^2(a^2 - 64) 64b^2 = a^4 - 64a^2

Теперь подставим выражение для a^2 из второго уравнения: 64b^2 = (b^2((1 - √3)/2))^2 - 64(b^2((1 - √3)/2)) 64b^2 = (b^4(1 - √3)^2/4) - (64b^2(1 - √3)/2) 128b^2 = b^4(1 - 2√3 + 3) - 128b^2(1 - √3) 128b^2 = b^4(4 - 2√3) - 128b^2(1 - √3) 128b^2 = 4b^4 - 2√3b^4 - 128b^2 + 128√3b^2 2√3b^4 = 4b^4 + 128√3b^2 2√3b^4 - 4b^4 = 128√3b^2 b^2(2√3 - 4) = 128√3 b^2 = 128√3 / (2√3 - 4) b^2 ≈ 128√3 / (2√3 - 4) ≈ 81.24

Теперь найдем b: b ≈ √81.24 ≈ 9

Используя второе уравнение, найдем a: a ≈ b / cos(105°) a ≈ 9 / ((1 - √3)/2) ≈ 9 / (0.268) ≈ 33.58

Таким образом, стороны треугольника примерно равны: AB ≈ 33.58, BC (или BH) ≈ 8 и AC (или AH) ≈ 9.