Question

У прямокутному трикутнику ABC(кутС=90градусів) проведено бісектрису АК. знайти довжину цієї бісектриси, якщокутА=60градусів,ВК=7см

Answer 1

Ответ:

7корень з 3

Объяснение:

Бісектриса АК утворює перпендикуляр з стороною СВ.

Відомо що ВК=7, а сторона напроти 30° у прямокутному трикутнику дорінює половині гіпотенузи, отже АВ =14.

За т. Піфагора розв'язуємо АК=крень(АВ^2-ВК^2)

АК=корень (196-49)

АК= корень(147)

АК= 7 корень з 3

Answer 2

Для знаходження довжини бісектриси АК спочатку знайдемо довжину сторони АК, а потім за допомогою відомих величин знайдемо довжину бісектриси.

Позначимо: AK - довжина бісектриси, AB - довжина сторони АВ, BC - довжина сторони ВС.

Оскільки АК є бісектрисою кута А, то ділимо сторону ВС навпіл на дві частини у точці К.

За теоремою бісектриси маємо: $\frac{AK}{AB} = \frac{CK}{CB}.$

Оскільки ВС = VK + CK, то ВС = 7 см + CK.

Позначимо довжину бісектриси АК як x (в см).

Тоді отримуємо: $\frac{x}{AB} = \frac{CK}{7 \text{см} + CK}.$

Оскільки кут А = 60°, а трикутник ABC - прямокутний, то кут В = 180° - 90° - 60° = 30°.

Тепер можемо скористатися тригонометричними співвідношеннями у трикутнику ВКС (в якому ми знаємо кут В і довжину ВК) для знаходження довжини КС (протилежної сторони кута 30°):

$\tan 30° = \frac{CK}{VK}.$

$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{CK}{7 \text{см}}.$

$CK = \frac{7 \text{см}}{\sqrt{3}}.$

Тепер підставимо CK у вираз для довжини бісектриси АК:

$\frac{x}{AB} = \frac{\frac{7 \text{см}}{\sqrt{3}}}{7 \text{см} + \frac{7 \text{см}}{\sqrt{3}}}.$

Зведемо дріб до спільного знаменника:

$\frac{x}{AB} = \frac{7 \text{см} \cdot \sqrt{3}}{7 \text{см} \cdot \sqrt{3} + 7 \text{см}}.$

$\frac{x}{AB} = \frac{7 \text{см} \cdot \sqrt{3}}{7 \text{см} \cdot \sqrt{3} + 7 \text{см}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}.$

$\frac{x}{AB} = \frac{7 \text{см} \cdot \sqrt{3}}{7 \text{см} \cdot \sqrt{3} + 7 \text{см}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}.$

$\frac{x}{AB} = \frac{7 \text{см} \cdot \sqrt{3}}{7 \text{см} \cdot \sqrt{3} + 7 \text{см}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}.$

$\frac{x}{AB} = \frac{7 \text{см} \cdot \sqrt{3}}{7 \text{см} \cdot \sqrt{3} + 7 \text{см}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}.$