Question

ДАМ 100БАЛОВ У прямокутному трикутнику ABC з гіпотенузою AC проведено бісектрису CK. Гіпотенуза BC у 2 рази більша за катет BC. Знайти довжину бісектриси KC, якщо катет AB=24

Answer 1

Ответ: КС=16см

Объяснение: пусть катет ВС=х, тогда гипотенуза АС=2х. Зная, что АВ=24, составим уравнение используя теорему Пифагора:

(2х)²-х²=24²

4х²-х²=576

3х²=576

х²=192

х=√64×3

х=8√3см; ВС=8√3; АС=8√3×2=16√3см

Так как ВС равна ½АС, то этот катет лежит напротив угла 30°, значит угол А= 30°, следовательно, угол С=60°. Зная, что биссектриса, проведённая из угла С делит его пополам, то угол ВСК=углу АСК=30°. Теперь рассмотрим полученный ∆ВСК.Он также прямоугольный, где ВС и ВК катеты, а СК- гипотенуза. мы нашли катет ВС, угол ВСК=30°, а значит, катет лежащий напротив него тоже будет равен половине гипотенузы в этом треугольнике, т.е. ВК=½СК. Точно так же пусть ВК=х, тогда КС=2х. Составим уравнение используя теорему Пифагора: КС²-ВК²=ВС²

(2х)²-х²=(8√3)²

4х²-х²=64×3

3х²=192

х²=192÷3

х²=64

х=√64

х=8; итак: ВК=8см, тогда КС=8×2=16см

КС=16см

Answer 2

Давайте позначимо дані і невідомі величини, щоб легше розібратися у завданні:

AB = 24 (довжина катета) BC = ? AC = ? KC = ?

Також ми знаємо, що гіпотенуза BC у 2 рази більша за катет BC. Отже:

BC = x AC = 2x (де x - довжина катета BC)

За теоремою Піфагора для прямокутного трикутника ABC маємо:

AC^2 = AB^2 + BC^2 (2x)^2 = 24^2 + x^2 4x^2 = 576 + x^2

Розгортаємо рівняння:

3x^2 = 576

Тепер розділимо обидві сторони на 3, щоб знайти значення x:

x^2 = 192

x = √192 x = 8√3

Тепер, коли ми знайшли довжину катета BC, ми можемо знайти довжину бісектриси KC. Бісектриса CK ділить протилежну сторону AC на дві частини, пропорційні довжинам прилеглих сторін трикутника:

KC/BC = AC/AB

Підставимо відомі значення:

KC/x = 2x/24

Тепер розв'яжемо це рівняння для KC:

KC = (2x/24) * x KC = (2/24) * (8√3) KC = (1/12) * (8√3) KC = (2/3)√3

Отже, довжина бісектриси KC дорівнює (2/3)√3.