Question

Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит его на части 3 см и 9 см. Найти отношение объемов шаровых сегментов.

Answer 1

Ответ:

5/27.

Объяснение:

DE = 3 см, EC = 9 см ⇒ DC = DE + EC = 3 + 9 = 12 см.

Значит DO = OC = DC : 2 = 12 : 2 = 6 см.

AB ⊥ CD.

V сегмента = π * h² * (R - 1/3 * h)  

Пусть V₁ - объём верхнего сегмента, тогда V₂ - объём нижнего сегмента, а V₃ -  объём шара.

V₁ = π * DE² * (DO - 1/3 * DE) = π * 3² * (6 - 1/3 * 3) = 45π см³

V₂ = V₃ - V₁.

V₃ = 4/3 * π * R³ = 4/3 * π * DO³ = 4/3 * π * 6³ = 288π см³

⇒ V₂ = 288π - 45π = 243π см³

Значит отношение V₁ и V₂ = 45π/243π = 5π/27π = 5/27.

Answer 2

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать соотношение объемов шаровых сегментов, которое гласит:

Отношение объемов шаровых сегментов равно кубу отношения длины отсекающей плоскости к радиусу шара.

Пусть R - радиус шара, тогда отсекающая плоскость делит его на две части: шаровой сегмент высотой 3 см и шаровой сегмент высотой 9 см.

Обозначим V1 - объем шарового сегмента с высотой 3 см, а V2 - объем шарового сегмента с высотой 9 см.

Тогда соотношение объемов будет следующим:

(V1 / V2) = (h1 / h2)^3,

где h1 - высота первого сегмента (3 см), h2 - высота второго сегмента (9 см).

Теперь нужно найти соотношение радиусов отсекающих плоскостей.

Давайте обозначим r1 - радиус первой отсекающей плоскости (плоскости, разделяющей наш шар на сегменты высотой 3 см), r2 - радиус второй отсекающей плоскости (плоскости, разделяющей шар на сегменты высотой 9 см).

Так как эти плоскости перпендикулярны диаметру шара, то r1 и r2 будут образовывать прямоугольные треугольники с радиусом R.

Теперь у нас есть два прямоугольных треугольника:

1. Треугольник с катетами R и r1 (высота 3 см).
2. Треугольник с катетами R и r2 (высота 9 см).

Из геометрии известно, что для прямоугольных треугольников соотношение катетов равно соотношению высот:

(r1 / R) = (h1 / R),

(r2 / R) = (h2 / R).

Теперь можем записать формулы для отношений объемов:

(V1 / V2) = (h1 / h2)^3 = ((r1 / R) / (r2 / R))^3 = (r1 / r2)^3.

Теперь осталось найти отношение радиусов r1 и r2, чтобы вычислить отношение объемов V1 и V2.

Мы знаем, что плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит его на части 3 см и 9 см. Таким образом, r1 - это радиус шарового сегмента высотой 3 см, а r2 - радиус шарового сегмента высотой 9 см.

Ответ:

Отношение объемов шаровых сегментов равно кубу отношения радиусов отсекающих плоскостей:

(V1 / V2) = (r1 / r2)^3.