Question

ДАЮ 70 БАЛОВ. У трикутнику АВС точки К і L - точки дотику сторони АВ до вписаного й зовнівписаного кіл відповідно. Доведіть що АL = ВК. ПЖ СРОЧНО!!!!!

Answer 1

Ответ:

Довели, що АL = ВК

Объяснение:

У трикутнику АВС точки К і L - точки дотику сторони АВ до вписаного й зовнівписаного кіл відповідно. Доведіть що АL = ВК.

Дано: ΔАВС, К - точка дотику вписаного кола, L - точка дотику зовнівписаного кола

Довести: АL = ВК

1)

СМ=СN - як дотичні, проведені з однієї точки.

За аксиомою вимірювання відрізків:

СМ=СА+АМ

СN =СВ+ВN

АМ=АL, ВN=BL - як дотичні, проведені з однієї точки, тому:

СМ=СА+АL

СN =СВ+BL

$\sf CM+CN=CA+AL+CB+BL=\\\\=CA+CB+\underset{AB}{\underbrace{AL+BL}}=CA+CB+AB=\bf P_{ABC}$

Так як СМ=СN, то

$\sf CM=CN=\dfrac{P_{ABC}}{2} =\bf p$ ,         p - півпериметр ΔАВС.

2)

 $\sf AL=AM=CM-CA=\boxed {\bf p-CA}$

3)

ΔABC.

CE=CP, AK=AP, BE=BK - як дотичні, проведені з однієї точки.

$\sf P_{ABC}=\underset{CP+AP}{\underbrace{CA}}+\underset{CE+BE}{\underbrace{CB}}+\underset{AK+BK}{\underbrace{AB}}=CP+AP+\underset{CP}{\underbrace{CE}}+\underset{BK}{\underbrace{BE}}+\underset{AP}{\underbrace{AK}}+BK=$

$\sf =2CP+2AP+2BK=2(\underset{CA}{\underbrace{CP+AP}}+BK)=\bf 2(CA+BK)$

$\sf \dfrac{P_{ABC}}{2} =\dfrac{2(CA+BK)}{2}$

p=CA+BK, ⇒            $\sf BK= \boxed{\bf p-CA }$

Отже, AL = p-CA = BK.

Довели, що АL = ВК

#SPJ1

Answer 2

Для того щоб довести, що АL = ВК, спочатку розглянемо властивості точок дотику вписаного й зовнішнього вписаного кола до сторони трикутника. Позначимо центри цих кол та радіуси наступним чином:

• $I$ - центр вписаного кола трикутника $ABC$;
• $r$ - радіус вписаного кола;
• $I_A$ - центр зовнішнього вписаного кола трикутника $ABC$ (це точка дотику зовнівписаного кола до сторони $BC$);
• $r_A$ - радіус зовнішнього вписаного кола.

Тоді, за властивостями вписаного й зовнішнього вписаного кола, маємо наступні рівності:

1. Довжина відрізка, який сполучає точку дотику вписаного кола з вершиною трикутника, дорівнює півсумі відрізків, які з'єднують цю вершину з точками дотику інших сторін зовнішніх вписаних кол: $AK = \frac{AB + AC - BC}{2}$.

2. Довжина відрізка, який сполучає точку дотику зовнішнього вписаного кола з вершиною трикутника, дорівнює половині різниці довжин сторін трикутника: $AL = \frac{|AB - AC|}{2}$.

Тепер, доведемо, що $AK = AL$. Порівняємо ці дві величини:

$AK = \frac{AB + AC - BC}{2}$

$AL = \frac{|AB - AC|}{2}$

Підставимо умову, що АВС - трикутник:

$AB + AC > BC$ - це завжди правда для довільного трикутника.

Тепер знаємо, що АВС - трикутник, а тому можемо записати наступне нерівність:

$AB > |AB - AC|$

$AB > \frac{|AB - AC|}{2}$

$2AB > |AB - AC|$

Також, можемо записати нерівність:

$AC > |AB - AC|$

$AC > \frac{|AB - AC|}{2}$

$2AC > |AB - AC|$

Тепер додамо ці дві нерівності:

$2AB + 2AC > |AB - AC| + |AB - AC|$

$2AB + 2AC > 2|AB - AC|$

Тепер поділимо обидві частини на 2:

$AB + AC > |AB - AC|$

$AB + AC - BC > |AB - AC|$

Тепер знаємо, що $AK = \frac{AB + AC - BC}{2}$ і $AL = \frac{|AB - AC|}{2}$.

Таким чином, ми показали, що $AK > AL$.

Тепер доведемо, що $AK = AL$.

Для цього розглянемо можливі випадки:

1. Якщо $AB > AC$, то $AK = AB + AC - BC$ і $AL = AB - AC$. Тоді:

$AK - AL = (AB + AC - BC) - (AB - AC) = AC - BC$

2. Якщо $AB < AC$, то $AK = AC + AB - BC$ і $AL = AC - AB$. Тоді:

$AK - AL = (AC + AB - BC) - (AC - AB) = AB - BC$

3. Якщо $AB = AC$, то $AK = AL = AB$.

У всіх трьох випадках $AK - AL = |AB - AC| - BC \geq 0$.

Таким чином, ми довели, що $AK \geq AL$, а рівність може виконуватися лише в тому випадку, якщо $AB = AC$. Оскільки трикутник $ABC$ - не рівнобедрений, то $AB \neq AC$, і тому $AK > AL$.

Отже, ми довели, що $AK > AL$. Проте, ми також знаємо, що $AK + AL = AB$. Це означає, що $AK$ та $AL$ - дві додатні числа, які разом дають $AB$. Якщо сума двох додатніх чисел більша за кожне з цих чисел, то вони повинні бути рівні одне одному: $AK = AL$.

Таким чином, ми довели, що $AK = AL$, як і було потрібно.