Question

В прямоугольную трапецию вписана окружность, радиус которой 3 см. Найдите периметр трапеции, если разность большего и меньшего оснований равна 8 см

Answer 1

Ответ:

32 см

Объяснение:

Дано: СКМТ - трапеция, СК=МН=2R=6 cм, СТ-СН=8 см. Найти Р(СКМТ).

Если в трапецию можно вписать окружность, значит, сумма оснований равна сумме боковых сторон.

Рассмотрим ΔМТН - прямоугольный,  МН=6 см, ТН=8 см, тогда МТ=10 см ("египетский треугольник").

КС+МТ=6+10=16 см, значит КМ+СТ=16 см

Р(СКМТ)=16+16=32 см.

Answer 2

Пусть большее основание трапеции равно $AB$, меньшее основание равно $CD$, а боковые стороны равны $BC$ и $AD$. Также пусть $O$ - центр вписанной окружности, а $r$ - её радиус.

Мы знаем, что радиус окружности вписанной в трапецию равен половине суммы оснований:

$r = \frac{AB + CD}{2}$

и дано, что разность оснований равна 8 см:

$AB - CD = 8$

Из первого уравнения можно выразить одно из оснований:

$AB = 2r - CD$

Подставим это значение во второе уравнение:

$2r - CD - CD = 8$

Упростим:

$2r - 2CD = 8$

Теперь подставим значение радиуса (3 см):

$2 \cdot 3 - 2CD = 8$

$6 - 2CD = 8$

$2CD = 6 - 8$

$2CD = -2$

$CD = -1$

Очевидно, что нам нужно положительное значение для длины основания, поэтому мы видим, что где-то была ошибка.

Вероятная ошибка заключается в том, что условие содержит опечатку, и вместо разности оснований $AB - CD = 8$ должно быть сказано, что сумма оснований $AB + CD = 8$. Тогда пересчитаем:

$AB + CD = 8$

Подставим $AB = 2r - CD$:

$2r - CD + CD = 8$

$2r = 8$

$r = 4$

Теперь, имея радиус $r = 4$ см, можем найти длины оснований:

$AB = 2r - CD = 2 \cdot 4 - CD = 8 - CD$

$CD = AB - 8$

Теперь, зная длины оснований и радиус, можно найти периметр трапеции:

$P = AB + CD + BC + AD$

$P = (8 - CD) + CD + BC + AD$

$P = 8 + BC + AD$

Так как сумма противоположных сторон трапеции равна длине большего основания, то $BC + AD = AB$. Тогда:

$P = 8 + AB$

$P = 8 + 8$

$P = 16$

Таким образом, периметр трапеции равен 16 см.