Question

В треугольник вписана окружность. Вычисли неизвестные углы, если ∢ OMN = 31° и ∢ LNO = 33°.​

Answer 1

Ответ:

Радиус перпендикулярен касательной в точке касания. Касательные из одной точки к окружности равны. Отрезки, соединяющие центр окружности и точку, из которой проведены касательные являются биссектрисами углов между этими касательными и углов между радиусами, проведенными к этим касательным в точки касания. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Сумма всех углов с вершиной в центре окружности равна 360°.  Следовательно:

<NML=2*28=56°, <MNL=2*31=62°, <NLM=180-56-62=62°, <AOM=90-28=62°, <AON=90-31=59°, <NOB=<AON=59°, <MOC=<AOM=62°, <AOC=2*<AOM=124°, <AOB=2*<AON=118°, <COB=360-124-118=118°, <COL=<BOL=<COB:2 = 59°.

Answer 2

Для решения данной задачи нам потребуется использовать свойства вписанных углов и углов внутри треугольников.

Давайте обозначим следующие углы:

• ∠OMN = 31° (дано)
• ∠LNO = 33° (дано)
• ∠ONM = α (неизвестный угол)
• ∠OLN = β (неизвестный угол)

Так как треугольник ONM вписанный, сумма углов его внутри равна 180°: α + 31° + ∠ONM = 180° α + 31° = 180° - ∠ONM

Аналогично, для треугольника OLN: β + 33° + ∠OLN = 180° β + 33° = 180° - ∠OLN

Теперь мы можем воспользоваться свойством углов на противоположных сторонах вписанной окружности. Угол, опирающийся на дугу, в два раза больше центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Таким образом: ∠ONM = 2 * ∠OLN α = 2 * β

Подставим это в выражение для α + 31°: 2 * β + 31° = 180° - ∠ONM

Теперь можем подставить известное значение ∠ONM и решить уравнение: 2 * β + 31° = 180° - α 2 * β + 31° = 180° - (2 * β) 2 * β + 31° = 180° - 2β 2β + 2β = 180° - 31° 4β = 149° β = 149° / 4 β = 37.25°

Теперь можем найти α, подставив значение β в уравнение α = 2 * β: α = 2 * 37.25° α = 74.5°

Итак, получили: ∠ONM = α = 74.5° ∠OLN = β = 37.25°

У нас теперь есть значения для неизвестных углов.