Question

ДАЮ 50 БАЛОВ Два кола мають внутрішній дотик у точці А, причому менше коло проходить через центр більшого. Доведіть, що будь-яка хорда більшогокола, яка виходить із точки А, ділиться меншим колом навпіл.​

Answer 1

Два круга имеют внутреннее прикосновение в точке А, причем меньше круг проходит через центр большей. Докажите, что любая хорда большей круги, которая выходит из точки А, делится меньшим кругом пополам.

Объяснение:

Дано:окр С(R=CA) ,окр В (r=ВА) ,СА=2ВА, внутреннее касание в точке А.

Доказать :что любая хорда большего круга, выходящая  из точки А, делится меньшей окружностью пополам.

Доказательство.

Пусть АМ-хорда большей окружности , пересекает меньшую окружность в точке Р. Необходимо доказать , что Р-середина АМ или АМ=2АР.

1)ΔАМС- равнобедренный , т.к СА=СМ=R, значит ∠1=∠3.

2) ΔАРВ-равнобедренный , т.к ВА=ВР=r, значит ∠2=∠3.

ΔАМС подобен ΔАРВ по двум углам : ∠1= ∠2 , ∠3-общий . В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны :

СА:ВА=АМ:АР  или 2ВА:ВА=АМ:АР  или 2:1=АМ:АР , АМ=2АР , значит Р-середина.

Answer 2

Для того щоб довести, що будь-яка хорда більшого кола, яка виходить із точки А, ділиться меншим колом навпіл, давайте розглянемо ситуацію.

Позначимо внутрішні кола як коло "A" (менше коло) та коло "B" (більше коло). Нехай AB - хорда більшого кола "B", яка проходить через точку А і має точку перетину з меншим колом "A" в точці C.

Коло "A" проходить через центр кола "B", тому воно є діаметром кола "B".

Давайте позначимо центр кола "B" як точку O, і позначимо центр кола "A" як точку P.

Також, позначимо точку перетину AB з колом "A" як точку C, а точку перетину AB з колом "B" як точку D.

Тепер ми маємо:

1. OA - діаметр кола "B", тому OA проходить через центр O.

2. OC - радіус кола "A", тому OC проходить через центр P.

3. Отже, коло "A" є кісцевим колом для ОС.

4. Також, AB - хорда кола "B", яка має точку перетину з колом "A" в точці C.

Тепер згадаємо основну властивість кісцевого кута:

Кут між кісцем та хордою, який вимірюється з точки перетину, буде рівний половині кута, що вимірюється з тієї ж точки між двома дотичними.

З цього випливає, що кут PAC буде рівний половині кута AOC, оскільки OA і OC є дотичними, і вони утворюють кут PAC, а кут AOC є кутом, який вимірюється з точки перетину OC з хордою AB.

Оскільки коло "A" є кісцевим колом для ОС, а кут PAC дорівнює половині кута AOC, то кут PAC також буде рівний половині кута DOC, оскільки коло "A" проходить через центр кола "B" (точка O).

Таким чином, хорда AB ділиться меншим колом "A" навпіл.

Отже, ми довели, що будь-яка хорда більшого кола "B", яка виходить із точки А, ділиться меншим колом "A" навпіл.