Question

Шестиугольник АВСДЕГ вписан в окружность. Диагонали АД, ВЕ и СГ являются диаметрами этой окружности. Докажите, чтто площадь шестиугольника АВСДЕГ равна удвоенной площади треугольника АСЕ

Answer 1

S(AOC)=S(AOF)=S(COD) (равные основания, общие высоты)

S(COE)=S(COB)=S(EOF)

S(AOE)=S(AOB)=S(EOD)

Сложим, 2 S(ACE)=S(ABCDEF)

Answer 2

Для доказательства того, что площадь шестиугольника АВСДЕГ равна удвоенной площади треугольника АСЕ, докажем сначала две вспомогательные леммы.

Лемма 1: Треугольник АВС равнобедренный. Доказательство леммы 1: Поскольку диагонали АД и ВЕ являются диаметрами окружности, углы ∠АДС и ∠ВЕС прямые (угол вписанный в полуокружность). Также углы ∠АДЕ и ∠ВЕС равны, так как они опираются на одну и ту же дугу. Таким образом, углы ∠АСЕ и ∠ВСЕ также равны, так как они дополнительны к прямым углам ∠АДС и ∠ВЕС. Теперь у нас есть следующая цепочка равенств: ∠АСЕ = ∠ВСЕ ∠АСЕ = ∠ВСЕ = ∠ВАС (так как треугольник ВСЕ равнобедренный) ∠АСЕ = ∠ВАС

Лемма 2: Треугольник АВС равносторонний. Доказательство леммы 2: Так как треугольник АВС равнобедренный и ∠АСЕ = ∠ВАС, а ∠АСЕ = ∠ВСЕ, то ∠ВАС = ∠ВСЕ. Обозначим точку, в которой диагонали ВЕ и СГ пересекаются, как О. Тогда угол ∠ВОС прямой, так как он опирается на диаметр СГ. Теперь у нас есть следующая цепочка равенств: ∠ВАС = ∠ВСЕ = ∠ВОС Таким образом, угол ∠ВОС тоже прямой.

Теперь рассмотрим шестиугольник АВСДЕГ. Этот шестиугольник состоит из треугольника АВС и треугольника АСЕ. Мы уже доказали, что треугольник АВС равносторонний. Поскольку у треугольника АВС есть все равные стороны, а его диагонали являются диаметрами окружности, то этот треугольник точно вписанный в окружность.

Теперь рассмотрим треугольник АСЕ. Мы также знаем, что его диагонали АД и ВЕ являются диаметрами окружности, в которую вписан шестиугольник АВСДЕГ. Таким образом, треугольник АСЕ также вписан в эту окружность.

Теперь у нас есть два вписанных треугольника АВС и АСЕ, имеющих общий угол ∠АСЕ, опирающийся на диаметр СГ. Поскольку площадь вписанного треугольника равна половине произведения длины его стороны на радиус окружности, а радиус одинаков для обоих треугольников (потому что диагонали являются диаметрами), то площадь треугольника АСЕ равна половине площади треугольника АВС.

Таким образом, площадь шестиугольника АВСДЕГ равна сумме площадей треугольников АВС и АСЕ, но мы уже выяснили, что площадь треугольника АСЕ равна половине площади треугольника АВС.

Таким образом, площадь шестиугольника АВСДЕГ равна удвоенной площади треугольника АСЕ, что и требовалось доказать.