Question

35 баллов, решите пж. 1. ABC — равносторонний треугольник, точки M, N и K — серединные точки сторон. Площадь треугольника MNK равна 13 кв. ед. изм. Определи площадь четырёхугольника AMKC: ​

Answer 1

Объяснение:

М-середина АВ,  N -середина АС-по т. о средней линии  MN=1/2ВС;

М-середина АВ, К -середина ВС-по т. о средней линии  MК=1/2АС;

N -середина АС, К -середина ВС-по т. о средней линии  NК=1/2АВ;

ΔАВС∼ ΔMNK по трем пропорциональным сторонам:

АС/MК=1/2,  ВС/MN=1/2,  АВ/NК=1/2 ⇒к=1/2.

По т. об отношении периметров подобных треугольников

S(АВС)/S(MNK)=к²  ⇒  S(АВС)=52кв.ед.

ΔMNK=ΔМКВ  по 3 сторонам: МК-общая, МВ=NК=1/2АВ, MN=ВК=1/2ВС ⇒S(MNK)=S(МКВ).

S(АMКN)=S(АВС)-S(MВК)=52-13=39(кв.ед.)

Answer 2

Для решения этой задачи, нам необходимо знать формулу для нахождения площади треугольника, а также отношение площадей подобных треугольников.

Пусть сторона равностороннего треугольника ABC равна "a". Тогда площадь равностороннего треугольника ABC будет:

Площадь ABC = (a^2 * √3) / 4

Так как M, N и K являются серединными точками сторон равностороннего треугольника ABC, то сторона треугольника MNK будет равна "a / 2".

Площадь треугольника MNK:

Площадь MNK = (a^2 * √3) / 16

У нас дано, что площадь треугольника MNK равна 13 кв. ед.:

(a^2 * √3) / 16 = 13

Теперь найдем сторону "a":

a^2 * √3 = 13 * 16 a^2 = 208 / √3 a = √(208 / √3)

Теперь, чтобы найти площадь четырёхугольника AMKC, нужно найти площадь треугольника AMC и удвоить её, так как треугольник AMC состоит из двух равных треугольников AMK и CMA.

Площадь треугольника AMC:

Площадь AMC = (1/2) * a * h

Где "h" - высота треугольника AMC. Поскольку AM является медианой, то она равна (2/3) * h.

Теперь найдем площадь четырёхугольника AMKC:

Площадь AMKC = 2 * Площадь AMC = 2 * (1/2) * a * (2/3) * h = (2/3) * a * h

Теперь мы должны найти высоту треугольника AMC (h). Заметим, что треугольник AMC - прямоугольный треугольник с гипотенузой AM и катетами a/2 (так как AM - медиана и делит сторону на 2) и h.

Используя теорему Пифагора:

(h^2) + (a/2)^2 = a^2 h^2 + (a^2)/4 = a^2 h^2 = (3/4) * a^2 h = √((3/4) * a^2) h = √(3/4) * a

Теперь, подставим значение "a":

h = √(3/4) * √(208 / √3)

Теперь, подставим значение "h" в формулу площади AMKC:

Площадь AMKC = (2/3) * a * h = (2/3) * √(208 / √3) * √(3/4) * √(208 / √3)

После упрощения:

Площадь AMKC = (2/3) * √(208^2 / 4 * 3) = (2/3) * √(54016 / 12) = (2/3) * √4501.33...

Здесь я оставил площадь AMKC в приближенном виде, так как точное численное значение довольно сложно вычислить без калькулятора. Если вам необходимо численное значение, то вы можете использовать калькулятор для окончательных вычислений.