Question

Найдите угол между диагональю куба и плоскостью основания, если величина его ребра 4см

Answer 1

Проекцией диагонали куба является диагональ квадрата, лежащего в основании куба. А т.к. она равна а√2, где а- ребро куба, то высота в кубе равна4см, а проекция 4√2 см, тогда отношение высоты куба к проекции диагонали  - тангенс искомого угла. 12/(12√2)=√2/2, а угол равен arctg(√2/2)

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся геометрическими свойствами куба.

Поскольку ребро куба составляет 4 см, то все его ребра равны этой же длине. Диагональ куба соединяет две противоположные вершины. Поскольку куб имеет 8 вершин, у него есть 4 диагонали: две, проходящие через противоположные грани, и две, проходящие через противоположные вершины на плоскости основания.

Рассмотрим плоскость основания куба. Она является квадратной и содержит две противоположные вершины. Пусть одна из этих вершин будет точкой A, а противоположная вершина находится на расстоянии 4 см и будет точкой B. Подсчитаем расстояние между этими двумя вершинами, которое будет длиной диагонали основания куба.

Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, где один из катетов равен 4 см, а гипотенуза - диагональ основания куба, найдем длину этой диагонали:

длина диагонали основания = √(4^2 + 4^2) = √32 = 4√2 см.

Теперь рассмотрим диагональ, которая соединяет противоположные вершины куба. Эта диагональ проходит через центр куба. Диагональ куба можно рассматривать как диагональ параллелепипеда, в котором все ребра равны 4 см. Пусть длина диагонали куба будет равна D.

Теперь мы можем найти угол между диагональю куба и плоскостью основания, используя теорему косинусов для треугольника, образованного ребром куба, диагональю куба и диагональю основания:

cos(угол) = (4√2)^2 + 4^2 - D^2 / (2 * 4√2 * 4).

Упрощая это выражение, получаем:

cos(угол) = (32 + 16 - D^2) / (8√2).

Теперь найдем D^2, используя теорему Пифагора для параллелепипеда:

D^2 = 4^2 + 4^2 + 4^2 = 48.

Подставляя D^2 = 48 в предыдущее выражение, получаем:

cos(угол) = (32 + 16 - 48) / (8√2) = 0.

Таким образом, cos(угол) = 0. Значит, угол между диагональю куба и плоскостью основания равен 90 градусов.