Question

Срочно 35б!!! В системе координат заданы три точки: A(5;4,6); B(7;4,6); C(5;13,6). Вычислить объём тела, полученного вращением треугольника ABC вокруг оси ординат.

Answer 1

/////////////////////////////////////////

Answer 2

Чтобы вычислить объем тела, полученного вращением треугольника ABC вокруг оси ординат, можно воспользоваться методом цилиндрических оболочек. Этот метод основан на интегрировании площадей поперечных сечений фигуры, образованных вращением, по всем значениям переменной.

В данном случае, треугольник ABC вращается вокруг оси ординат (ось y). Это означает, что расстояние между осью вращения и точкой на фигуре равно x-координате точки.

Обозначим высоту треугольника как h (расстояние между y-координатами точек A и C), и радиус окружности, образующейся при вращении, как r (x-координата точки B). Так как x-координаты точек A и C одинаковы, r = 7 - 5 = 2.

Высота треугольника h = 13 - 4 = 9.

Теперь, чтобы найти объем фигуры, можно интегрировать площади поперечных сечений. Объем можно вычислить по следующей формуле:

V = ∫[a, b] A(x) dx,

где A(x) - площадь поперечного сечения на расстоянии x от оси вращения, a и b - границы интегрирования по x (в данном случае, от x = 4 до x = 13).

Площадь поперечного сечения фигуры, образованной вращением треугольника, равна площади окружности с радиусом r (2) минус площадь треугольника ABC. Площадь треугольника можно вычислить как 0.5 * основание * высота.

Таким образом,

A(x) = π * r^2 - 0.5 * x * h.

Подставляя значения r и h, получаем:

A(x) = π * 2^2 - 0.5 * x * 9, A(x) = 4π - 4.5x.

Теперь можно вычислить объем:

V = ∫[4, 13] (4π - 4.5x) dx, V = [4πx - 2.25x^2] from 4 to 13, V = (4π * 13 - 2.25 * 13^2) - (4π * 4 - 2.25 * 4^2), V = (52π - 2.25 * 169) - (16π - 2.25 * 16), V = 52π - 380.25 - 16π + 36, V = 36π - 344.25.

Итак, объем тела, полученного вращением треугольника ABC вокруг оси ординат, составляет 36π - 344.25 единиц^3.