Question

знайти об'єм правильної трикутної піраміди, висота якої доріпнбє √3 см, а всі плоскі кути при вершині - прямі

Answer 1

Обозначим проекцию апофемы на основание за х.

Тогда проекция боковой стороны на основание будет 2х.

По Пифагору имеем - боковая сторона L равна:

L = √((2x)² + (√3)²)  = √(4x² + 3).

Апофема А равна √(x² + (√3)²)  = √(x² + 3).

Высота треугольника основания равна 3х.

Тогда сторона основания а = 3x/cos 30° = 3x/(√3/2) = 6x/√3 = 2√3x.

Но, так как сторона основания - это гипотенуза при двух катетах L, то можно выразить: a = √(2L²) = L√2 = √(4x² + 3)*√2 = √(8x² + 6).

Приравняем: √(8x² + 6) = 2√3x.   Возведём в квадрат:

8x² + 6 = 12x   или 4x² = 6  или 2x² = 3.

Отсюда находим х = √(3/2).

Теперь можно определить длину стороны основания, подставив значение х: а = 2√3*(√(3/2)) = 3√2.

Площадь основания So = a²√3/4 = 18√3/4 = 9√3/2 кв.ед.

Ответ: V = (1/3)SoH = (1/3)*(9√3/2)*√3 = (9/2) куб.ед.

Answer 2

Об'єм правильної трикутної піраміди можна знайти за формулою:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основи}} \cdot h,$

де $S_{\text{основи}}$ - площа основи піраміди, $h$ - висота піраміди.

У цьому випадку ми маємо правильний трикутник на основі піраміди з усіма плоскими кутами при вершині. Тобто, ми маємо рівносторонній трикутник, де всі кути дорівнюють $60^\circ$.

Для рівностороннього трикутника площу можна знайти за формулою:

$S_{\text{основи}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4},$

де $a$ - довжина сторони рівностороннього трикутника.

Знаючи, що висота піраміди $h = \sqrt{3}$ см і всі сторони рівностороннього трикутника однакові, ми можемо виразити довжину сторони $a$ через висоту:

$a = \frac{2h}{\sqrt{3}}.$

Підставляючи це значення в формулу для площі основи, отримаємо:

$S_{\text{основи}} = \frac{\left(\frac{2h}{\sqrt{3}}\right)^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{4h^2}{3}.$

Тепер підставляючи значення $S_{\text{основи}}$ і $h$ у формулу для об'єму піраміди, отримаємо:

$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{4h^2}{3} \cdot h = \frac{4h^3}{9}.$

Підставляючи значення $h = \sqrt{3}$ см, отримаємо:

$V = \frac{4 \cdot (\sqrt{3})^3}{9} = \frac{4 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{9} = \frac{4 \sqrt{3}}{3} \approx 2.31 \, \text{см}^3.$

Отже, об'єм даної піраміди приблизно дорівнює $2.31 \, \text{см}^3$.