Question

Высоты, проведённые к боковым сторонам АВ и АС остро-угольного равнобедренного треугольника АВС, пересекаются в точке М. Найдите углы треугольника, если угол BMC = 140 градусов

Answer 1

Ответ:

40°  70°  70°

Объяснение:

Дано: ΔАВС, АВ=АС, ВК⊥АС, СТ⊥АВ, ∠ВМС=140°. Найти ∠А, ∠В, ∠С.

ΔВМТ - прямоугольный, ∠ВМТ=180-140=40° как смежные

∠МВТ=90-40=50°. т.к. сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°

ΔАМК = прямоугольный, ∠А=90-50=40°

∠В=∠С как углы при основании равнобедренного треугольника

∠В=∠С=(180-40):2=70°

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся свойством, согласно которому высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является одновременно медианой и биссектрисой этого треугольника.

Поскольку треугольник ABC остроугольный, каждая из его высот пересекает основание внутри треугольника. Таким образом, точка M, в которой пересекаются высоты, находится внутри треугольника ABC.

Угол BMC равен 140 градусов. Поскольку AM является медианой треугольника ABC, то угол AMB равен половине угла BMC, то есть 70 градусов.

Так как AM также является биссектрисой треугольника ABC, то угол BAC делится ею на два равных угла. Таким образом, угол BAM равен углу CAM.

Обозначим угол BAM (и, соответственно, угол CAM) через x. Тогда угол BAC будет равен 2x.

Из свойств треугольника ABC следует, что сумма углов треугольника равна 180 градусов. Таким образом, у нас есть следующее уравнение:

2x + 70 + 70 = 180

Упрощаем:

2x + 140 = 180

Вычитаем 140 из обеих частей:

2x = 40

Делим на 2:

x = 20

Таким образом, угол BAC равен 2x = 2 * 20 = 40 градусов, угол BAM равен 20 градусов, а угол CAM также равен 20 градусов.