Question

49. В треугольнике ABC известно, что АС=12, BC = 5, угол С равен 90°. Найдите радиус описанной окружно-сти этого треугольника.​

Answer 1

Треугольнике ABC известно, что АС =12, ВС = 5, угол С равен 90°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Решение.

Answer 2

Радиус описанной окружности треугольника можно найти по формуле:

$R = \frac{abc}{4S},$

где $a$, $b$, $c$ - длины сторон треугольника, $S$ - его площадь.

В данном случае у нас есть прямоугольный треугольник, где гипотенуза $AC = 12$, катет $BC = 5$, а угол $C$ прямой (90°).

1. Найдем длину оставшейся стороны треугольника $AB$ используя теорему Пифагора: $AB^2 = AC^2 - BC^2 = 12^2 - 5^2 = 144 - 25 = 119,$ $AB = \sqrt{119}.$

2. Найдем площадь треугольника через полупериметр $p$ и радиус вписанной окружности $r$: $S = pr = \frac{a+b+c}{2} \cdot r.$

Заметим, что в прямоугольном треугольнике полупериметр равен половине гипотенузы: $p = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6.$

Теперь мы можем выразить радиус $r$: $r = \frac{2S}{a+b+c}.$

3. Подставим найденные значения в формулу для радиуса: $r = \frac{2 \cdot \frac{a+b+c}{2} \cdot r}{a+b+c} = \frac{r}{2}.$

Таким образом, радиус описанной окружности треугольника равен половине гипотенузы $AC$: $R = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6.$

Итак, радиус описанной окружности этого прямоугольного треугольника равен 6.