Question

В параллелепипеде ABCDA B C D 1 1 1 1проведены два сечения. Первое – через ребро BC и середину ребра 1 AA ,второе – через ребро AA1и точку M на ребре CD. Отрезок, по которому пересекаются эти сечения, делит каждое из них на две части, отношение площадей кото-рых одинаково для обоих сечений. Найдите отношениеCM:CD ​

Answer 1

В параллелепипеде  ABCDA1B1C1D1 проведены два сечения. Первое – через ребро BC и середину ребра  AA1 ,второе – через ребро AA1 и точку M на ребре CD. Отрезок, по которому пересекаются эти сечения, делит каждое из них на две части, отношение площадей которых одинаково для обоих сечений. Найдите отношение CM:CD .

Объяснение:

Первое сечение, параллелограмм ВСК₁К, пересекает DD₁ в точке К₁: DK₁ = K₁D .

Пусть S₁ — площадь ΔКРК ₁  ,S₂ —площадь трапеции КРСВ. Их высоты равны расстоянию межу сторонами KB и K₁C, пусть равны h.

Второе сечение ,параллелограмм AММ₁A₁ .  

Линия пересечения сечений  отрезок КР .

Пусть S₃ — площадь трапеции  АМРК , S₄ —площадь трапеции КРМ₁А₁

Их высоты равны расстоянию межу сторонами АА₁ и ММ₁ ,пусть равны H.    Пусть  CМ = a; CD = в.

ΔCDК₁ ~ΔСМР по двум углам⇒все сходственные стороны пропорциональны:

1) РС/К₁Р=а/(в-а)   , К₁Р=РС*(в-а)/а.

2)РС/К₁С=а/в        , К₁С=РС*в/а.

3)К₁D/РМ=в/а        , К₁D=РМ*в/а.

Выразим площади.  

1)Δ КРК  : S₁ = 0,5*h* К₁Р=( 0,5h*РС*(в-а))/а  .

2) Трапеция КРСВ , КВ= К₁С :

S₂ = 0,5*h*(РС+КВ)= 0,5*h*РС*((а+в)/а).

3) Трапеция  АМРК , КА=К₁D :

S₃  = 0,5*H*(РМ+КА)= 0,5*H*РМ*((а+в)/а);

4) Трапеция КРМ₁А₁ , КА₁=К₁D,  РМ₁=ММ₁-РМ=АА₁ -РМ=2К₁D-РМ  :  

S₄=0,5*H*(РМ*в/а+(2РМ*в)/а+РМ)=0,5Н*РМ((3в+а)/а)  .

Найдем отношение площадей  :

S1/S2 = (в–a)/(в + a)=(3в ²-4ав+а²):((в+а)(3в-а))

S3/S4 = (в+a)/(3в–a)= (в ²+2ав+в²):((в+а)(3в-а)) .

Т.к. отношение площадей одинаково для обоих сечений, то  

3в²-4ав+а²= в²+2ав+в²,

2в²-6ав=0  ,в=3а ,  а:в=1:3,  (CМ=a; CD=в)

СМ:СD=1:3

Answer 2

Давайте разберемся с данными условиями.

Первое сечение проходит через ребро BC и середину ребра AA₁. Обозначим точку пересечения этого сечения с ребром AA₁ как P.

Второе сечение проходит через ребро AA₁ и точку M на ребре CD. Обозначим точку пересечения этого сечения с ребром AA₁ как Q.

Поскольку сечения делят каждое из них на две части, отношение площадей сечений одинаково. Обозначим площадь первой части первого сечения как S₁, площадь второй части первого сечения как S₂, площадь первой части второго сечения как S₃ и площадь второй части второго сечения как S₄.

Тогда условие можно записать в виде:

S₁/S₂ = S₃/S₄

Теперь рассмотрим сечение, проходящее через ребро BC и точку P.

Рассмотрим прямоугольники ABPC и ABP₁C, где AB = BC = 1 и AP = P₁C = 1/2. Площадь прямоугольника ABPC равна 1, а площадь прямоугольника ABP₁C равна S₁.

Таким образом, получаем:

S₁ = 1

Аналогично, рассмотрим сечение, проходящее через ребро AA₁ и точку Q.

Рассмотрим прямоугольники A₁QCD и A₁QD₁C, где A₁Q = QD₁ = x и A₁C = CD = 1. Площадь прямоугольника A₁QCD равна S₃, а площадь прямоугольника A₁QD₁C равна 1 - S₄.

Таким образом, получаем:

S₃ = x

1 - S₄ = 1 - x

Из условия S₁/S₂ = S₃/S₄ имеем:

1/S₂ = x/(1 - x)

S₂ = (1 - x)/x

Теперь рассмотрим треугольники CDP и CDP₁.

Оба треугольника имеют основание CD, а высоты равны соответственно CM и CD₁.

Отношение площадей треугольников равно отношению высот, поэтому:

S₂/S₄ = CM/CD₁

(1 - x)/x = CM/CD₁

Отсюда можно найти выражение для CM:

CM = (1 - x) * CD₁ / x

Теперь вспомним, что точка M находится на ребре CD. Так как отношение CM:CD₁ по условию равно отношению площадей сечений, которое равно S₃/S₄ = x/(1 - x), получаем:

CM/CD = x/(1 - x)

Ответ: Отношение CM:CD равно x/(1 - x).