Question

Точка перетину висот ВК і РН трикутника БEP є центром вписаного в нього кола доведіть що трикутгик БEP рівностароній

Answer 1

Точка пересечения высот ВК и РН треугольника ВЕР является центром вписанного в него круга докажите что треугольник ВЕР равносторонний.

Объяснение:

Дано: ВК⊥ЕР, РН⊥ВЕ О- точка пересечения высот, О-центр вписанной окружности.

Доказать:  ΔВЕР-равносторонний.

Доказательство.

1)Центр вписанной окружности треугольника - точка пересечения биссектрис треугольника ⇒ВК, РН- биссектрисы.Обозначим ∠ЕВК=∠КВР=х,   ∠ЕРН=∠НРВ=у.

Тогда в ΔВОР  , ∠ВОР=180-х-у.

В четырехугольнике ЕНОК сумма углов 360°⇒∠НЕК=360-90-90-∠ВОР,   ∠НЕК=180-180+х+у, ∠НЕК=х+у.

ΔВЕК-прямоугольный, х+(х+у)=90°, по свойству острых углов,  у=90°-2х.

ΔРЕН-прямоугольный, у+(х+у)=90° ,по свойству острых углов. Подставим 90°-2х+(х+90°-2х)=90° ⇒х=30°.

Найдем у=90°-2х⇒у=30°.

Найдем углы ∠ЕВК=∠КВР=х ⇒∠ЕВР=60°  

∠ЕРН=∠НРВ=у ⇒∠ЕРВ=60°.

∠НЕК=х+у⇒∠НЕК=60°. ΔВЕР-равносторонний.

Answer 2

Щоб довести, що трикутник БЕР є рівностороннім, нам потрібно використати дані про точку перетину висот ВК і РН трикутника БЕР, яку ми позначимо як О.

Оскільки точка О є центром вписаного кола трикутника БЕР, кут ВОР буде вписаним кутом. З іншого боку, висота БК буде перпендикулярною до сторони РЕ. Отже, кут ВКР також є прямим кутом.

Таким чином, у трикутнику БВК маємо два прямих кути (кути ВОР і ВКР), тому він є прямокутним. Оскільки трикутник БВК є прямокутним і рівнобедреним (так як БК і ВК є висотами, тобто перпендикулярними до основи РЕ), то він також є рівностороннім.

Таким чином, ми довели, що трикутник БЕР є рівностороннім.