Question

Срочно, помогите пожалуйста, вот вопрос: Докажите, что если центр вписанной окружности равнобедренного треугольника принадлежит высоте, то этот треугольник - равнобедренный.​

Answer 1

Ответ:

Центр вписанной окружности треугольника равноудален от его сторон и лежит на пересечении биссектрис. Если этот центр принадлежит и высоте треугольника, то следовательно треугольник, как минимум, равнобедренный, так как высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника и биссектриса угла, противоположного основанию, совпадают

Answer 2

Давайте рассмотрим данный вопрос. Пусть у нас есть треугольник ABC, в котором AD - высота, а O - центр вписанной окружности. Мы хотим доказать, что треугольник ABC является равнобедренным, то есть AB = AC.

Для начала, обратим внимание на то, что центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Так как точка O лежит на высоте AD, она также должна лежать на биссектрисе угла BAC, так как высота и биссектриса пересекаются в точке A.

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC, она делит этот угол на два равных угла. Обозначим эти углы как ∠BAO и ∠CAO.

Теперь рассмотрим треугольники ABO и ACO. У нас есть:

∠BAO = ∠CAO (по определению центра вписанной окружности), AO = AO (общая сторона), ∠ABO = ∠ACO (по построению).

По стороне-уголу-стороне (СУС) мы можем заключить, что треугольники ABO и ACO равны. Таким образом:

AB = AC (по равенству соответствующих сторон треугольников ABO и ACO).

Итак, мы доказали, что если центр вписанной окружности принадлежит высоте треугольника, то этот треугольник обязательно является равнобедренным.

P.S. Не забудьте всегда указывать углы и стороны, на которые вы ссылаетесь, при проведении подобных геометрических доказательств.