Question

Складіть рівняння сфери, діаметром якого є відрізок AB, якщо A(-2;1;3) B(0;5;1)

Answer 1

Находим центр О сферы как середину отрезка АВ: О(-1; 3; 2).

Определяем радиус сферы:

R = √( (-2-(-1))² + (1-3)² + (3-2)²) =√(1 + 4 + 1) = √6.

Ответ: уравнение сферы (x + 1)² + (y - 3)² + (z - 2)² = 6.

Answer 2

Діаметр сфери можна знайти як відстань між точками A і B. Відстань між двома точками в тривимірному просторі можна обчислити за допомогою формули:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2},$

де $A(x_1, y_1, z_1)$ і $B(x_2, y_2, z_2)$ - координати точок A і B відповідно, а $d$ - відстань між ними.

Підставляючи дані координати точок A і B, отримуємо:

$d = \sqrt{(-2 - 0)^2 + (1 - 5)^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24}.$

Отже, діаметр сфери дорівнює $\sqrt{24}$.

Рівняння сфери можна записати в загальному вигляді:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2,$

де $(x_0, y_0, z_0)$ - центр сфери, а $r$ - радіус сфери. У нашому випадку, так як діаметр дорівнює $\sqrt{24}$, то радіус буде половиною діаметра, тобто $\frac{\sqrt{24}}{2} = 2\sqrt{6}$.

Підставляючи координати точки A в загальне рівняння сфери, отримаємо:

$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 + (z - 3)^2 = (2\sqrt{6})^2,$

що спрощується до:

$x^2 + y^2 + z^2 + 4x - 2y - 6z + 12 = 24.$

Отже, рівняння сфери, діаметром якої є відрізок AB, має вигляд:

$x^2 + y^2 + z^2 + 4x - 2y - 6z - 12 = 0.$