Question

Усі кути опуклого многокутника прямі. Доведіть, що він є прямокутником.

Answer 1

Так как все углы выпуклого многоугольника прямые, то и внешние углы это многоугольника, взятые по одному при одной вершине, тоже прямые (так как сумма двух смежных углов равна 180°).

Обозначим количество сторон (вершин, углов) за n.

Мы знаем, что сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.

Итак, если мы умножим внешний угол выпуклого многоугольника на количество его сторон, то получим сумму внешних углов (то бишь 360°).

Итак, n*90° = 360°

n = 360°/90°

n = 4.

Количество сторон данного выпуклого многоугольника - 4.

Прямоугольник - это четырёхугольник, все углы которого прямые. Так и у нас : мы доказали что данный многоугольник - четырёхугольник, а углы прямые у нас уже по условию. Тогда наш выпуклый многоугольник - прямоугольник. Что требовалось доказать.

Answer 2

Для доведення того, що опуклий многокутник з усіма прямими кутами є прямокутником, давайте розглянемо дану ситуацію ближче.

Нехай у нас є опуклий многокутник з усіма прямими кутами. Ми знаємо, що внутрішні кути цього многокутника додатні, оскільки опуклий многокутник завжди має суму внутрішніх кутів менше за 180 градусів на кожній вершині.

Тепер розглянемо дві сусідні сторони такого многокутника, які утворюють внутрішній кут. Цей внутрішній кут має бути прямим, оскільки всі внутрішні кути даного многокутника є прямими за передумовою. Таким чином, ці дві сторони будуть перпендикулярними одна до одної.

Ми можемо повторити цей аргумент для кожної пари сусідніх сторін многокутника. Це означає, що всі сторони многокутника будуть перпендикулярними одна до одної.

Отже, ми прийшли до висновку, що всі сторони цього опуклого многокутника перпендикулярні одна до одної. В такому випадку, всі кути цього многокутника також будуть прямими. Отже, многокутник є прямокутником, оскільки всі його кути прямі.