Question

Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. AB=20 корней из 2, AC=30, высота, проведенная к основанию AC равна 20. а) Докажите, что треугольник BOC прямоугольный и равнобедренный. б) Найдите длину окружности.

Answer 1

Ответ:

(см. прикрепленный файл)

Answer 2

а) Для начала, давайте обратим внимание на следующие факты:

1. Основание высоты треугольника ABC, проведенной к стороне AC, обозначим через H. Так как высота проведена к основанию, то AH является высотой, а HC — основанием. Также, так как треугольник ABC вписан в окружность, то высота AH является медианой и биссектрисой угла BAC.

2. Так как треугольник ABC вписан в окружность, угол BOC равен величине пересекающей дуги BC. Угол BAC, как половина этой дуги, равен углу BOC. Следовательно, угол BOC также равен углу BAC.

3. Поскольку высота проведена к основанию AC и образует прямой угол, а также угол BAC равен углу BOC, то треугольники AHB и BOC подобны. Это означает, что угол OCB также является прямым углом.

Теперь у нас есть все необходимые факты для доказательства, что треугольник BOC прямоугольный и равнобедренный.

б) Так как треугольник ABC вписан в окружность, длина окружности равна сумме длин всех его сторон.

AB = 20√2, AC = 30, BC = AB + AC = 20√2 + 30.

Из пункта (а) мы знаем, что треугольник BOC равнобедренный, так что BO = CO. Поэтому длина окружности:

C = AB + AC + BC = 20√2 + 30 + 20√2 + 30 = 40√2 + 60.

Таким образом, длина окружности равна 40√2 + 60.