Question

Плоскость, удаленная от центра сферы на 7 см, пересекает сферу по линии, длина которой равна 6π см. Найти площадь сферы

Answer 1

Плоскость, удаленная от центра сферы на 7 см, пересекает сферу по линии, длина которой равна 6π см. Найти площадь сферы

Объяснение:

Т.к. плоскость удалена от центра сферы на 7см , то отрезок

ОА⊥( плоскости сечения α).

В сечении данной комбинации тел получается окружность .

Длина окружности C=2ПR  , 6П=2ПR ⇒ R( окружности)=3 см или АВ=3 см.

ΔОАВ-прямоугольный , по т. Пифагора ВО²=АВ²+АО²  или ВО²=58.

S(сферы)=4Пr² ,  r=ВО, r²=ВО².

S(сферы)=4П*58=232П (см²)

Answer 2

Давайте рассмотрим данную ситуацию более подробно. У нас есть сфера с центром в точке $O$, и некоторая плоскость $P$, которая проходит через эту сферу. Плоскость $P$ находится на расстоянии 7 см от центра $O$ сферы. Эта плоскость пересекает сферу и образует некоторый круг, который является сечением сферы.

Длина линии сечения, образованной плоскостью, равна 6π см. Это означает, что длина окружности сечения $C$ равна $6\pi$ см.

Мы знаем, что длина окружности $C$ связана с радиусом сферы $R$ и углом $\theta$, на который данное сечение делит сферу, следующим образом:

$C = 2\pi R \sin(\theta)$

Поскольку дано, что длина окружности сечения $C$ равна $6\pi$ см, мы можем записать это уравнение следующим образом:

$6\pi = 2\pi R \sin(\theta)$

Далее, нам дано, что плоскость находится на расстоянии 7 см от центра сферы. Это означает, что высота треугольника, образованного радиусом сферы $R$, радиусом сечения и линией, соединяющей центр сферы и центр сечения, составляет 7 см.

Мы можем использовать тригонометрические соотношения для нахождения высоты $h$ треугольника через угол $\theta$:

$h = R \cos(\theta)$

Теперь мы можем решить систему уравнений, состоящую из уравнения для длины окружности $C$ и уравнения для высоты $h$:

$6\pi = 2\pi R \sin(\theta)$ $7 = R \cos(\theta)$

Разделим первое уравнение на второе:

$\frac{6\pi}{7} = \frac{2\pi R \sin(\theta)}{R \cos(\theta)}$

Упростим выражение:

$\frac{6\pi}{7} = 2\pi \tan(\theta)$

Теперь мы можем найти угол $\theta$:

$\tan(\theta) = \frac{3}{7}$

Используя найденное значение угла $\theta$, мы можем найти радиус сферы $R$:

$R = \frac{7}{\cos(\theta)} = \frac{7}{\sqrt{1 + \tan^2(\theta)}} = \frac{7}{\sqrt{1 + \left(\frac{3}{7}\right)^2}} \approx 6.72 \text{ см}$

Теперь, когда у нас есть радиус сферы $R$, мы можем найти её площадь поверхности $S$:

$S = 4\pi R^2 \approx 4\pi \cdot (6.72 \text{ см})^2 \approx 571.29 \text{ см}^2$

Итак, площадь поверхности сферы составляет приблизительно 571.29 см².