Question

сторони двох подібних трикутників відносяться як 2:1, площа одного з них на 66 см2 більша від площі іншого. Знайти площі цих трикутників.

Answer 1

Сторони двох подібних трикутників відносяться як 2:1, площа одного з них на 66 см2 більша від площі іншого. Знайти площі цих трикутників.

Answer 2

Позначимо площі двох подібних трикутників як S1 та S2, а їх відповідні сторони як a1, b1, c1 для першого трикутника та a2, b2, c2 для другого трикутника.

За умовою задачі маємо наступне співвідношення сторін:

a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 = 2/1.

Це означає, що сторони одного трикутника вдвічі довші за сторони іншого.

Дано, що площа одного трикутника на 66 см² більша від площі іншого:

S1 - S2 = 66.

Площа трикутника може бути обчислена за формулою Герона:

S = √(p(p - a)(p - b)(p - c)),

де p - півпериметр трикутника (p = (a + b + c)/2).

Підставимо формулу площі в дані співвідношення:

√(p1(p1 - a1)(p1 - b1)(p1 - c1)) - √(p2(p2 - a2)(p2 - b2)(p2 - c2)) = 66.

Так як ми маємо відношення сторін 2:1, можемо позначити сторони першого трикутника як 2x, 2y, 2z, а сторони другого трикутника як x, y, z.

Таким чином, маємо:

a1 = 2x, b1 = 2y, c1 = 2z, a2 = x, b2 = y, c2 = z.

Півпериметри трикутників будуть:

p1 = x + y + z, p2 = x/2 + y/2 + z/2 = (x + y + z)/2.

Підставимо ці значення в рівняння площ:

√(((x + y + z)/2)((x + y + z)/2 - 2x)((x + y + z)/2 - 2y)((x + y + z)/2 - 2z)) - √((x + y + z)((x + y + z)/2 - x)((x + y + z)/2 - y)((x + y + z)/2 - z)) = 66.

Спростимо це рівняння і розв'яжемо його відносно x, y, z, а потім знайдемо площі трикутників S1 та S2 за формулою площі Герона.

Важливо враховувати, що рівняння може мати декілька коренів, і необхідно вибрати ті, які задовольняють умові сторін 2:1 та мають додатні значення.