Question

Даю 50 балов. Помогите пожалуйста с решением задачи. Буду очень благодарна, решение нужно с полным оформлением У колі з центром О, проведено хорду DE, яка не проходить через точку О. Через точку О проведена пряму яка перпендикулярна до хорди DE. Доведіть, що точка перетину дотичних до кола, проведених через точки D i E, належить цій прямій. ​​

Answer 1

В круге с центром О, провели хорду DE, которая не проходит через точку О. Через точку О проведена прямая которая перпендикулярна к хорде DE. Докажите, что точка пересечения касательных к окружности, проведенных через точки D и E, принадлежит этой прямой.

Объяснение:

а⊥DE, АD и АЕ касательные.

Доказать А∈а

Доказательство.

ΔАЕО=ΔАDO  как прямоугольные по катету и гипотенузе ( ∠АЕО=∠АDО=90° по свойству касательной ,ОЕ=ОD как радиусы, АО-общая ). В равных треугольниках соответственные элементы равны :∠ЕОА=∠DОА.

ΔЕОА=ΔDОА по двум сторонам и углу между ними :ОЕ=ОD как радиусы, ОК-общая , ∠ЕОА=∠DОА ( см выше).В равных треугольниках соответственные элементы равны ⇒∠ОКD=∠ОКЕ и этиже углы в сумме дают 180°, как смежные, т.е.∠ОКD=∠ОКЕ=90°. Значит отрезок ОА⊥DЕ. Через точку О , не лежащую на данной прямой DЕ можно провести только одну прямую перпендикулярную данной. Значит а и ОА совпадают ⇒А∈а

Answer 2

Завдання полягає у доведенні, що точка перетину дотичних до кола, проведених через точки D і E, лежить на прямій, яка проходить через точку О і перпендикулярна до хорди DE.

Давайте позначимо дані точки та величини:

• Нехай O - центр кола.
• D і E - точки на хорді DE.
• F і G - точки дотику дотичних, проведених через точки D і E, відповідно.
• H - точка перетину лінії OG (прямої, проведеної через О перпендикулярно до DE) і лінії FG (прямої, проведеної через F і G).

Для доведення потрібно показати, що точка H лежить на прямій OG. Оскільки FG - дотична до кола в точці D, тоді за властивістю дотичної і центрального кута ми маємо:

∠ODF = 90° (1)

Також, оскільки FG - дотична до кола в точці E, то:

∠OEG = 90° (2)

Але оскільки OEG - вертикальні кути, то за властивістю вертикальних кутів:

∠ODF = ∠OEG (3)

Тепер ми маємо два кути, які дорівнюють один одному: ∠ODF і ∠OEG.

Позначимо точку перетину ліній FG і OG як H. Оскільки ∠ODF = ∠OEG, ми можемо сказати, що у трикутнику ODH маються два кути, які дорівнюють один одному. Це означає, що третій кут також має однакову міру:

∠ODH = ∠OGH (4)

Але за властивістю прямокутника, ∠OGH = 90°. Зараз ми маємо:

∠ODH = 90° (5)

Отже, за (1) і (5), ми маємо:

∠ODH = ∠ODF (6)

Це означає, що точка H лежить на дотичній до кола, проведеній через точку D.

Отже, ми довели, що точка H лежить і на прямій OG і на дотичній до кола, проведеній через точку D. Це означає, що точка перетину дотичних до кола, проведених через точки D і E, дійсно лежить на прямій, проведеній через точку О і перпендикулярно до хорди DE.

Таким чином, задача доведена.