Question

В трапецию вписана окружности и около этой же трапеции описана окружность. Основания трапеции равны соответственно m и n . Найдите радиус вписанной окружности, если ответ содержит корни, знак корня можно заменить словами "корень из...". Прошу вас не проходите мимо тот кто первый ответит получит баллы умоляю помогите

Answer 1

Ответ:

r= 1/2*√mn

Объяснение:

Если вокруг трапеции можно описать окружность, то это только равнобокая трапеция. Проведем две высоты из вершин основания m к основанию n. Получили два равных прямоугольных тр-ка и прямоугольник. Катет входящий в основание a = (m-n)/2

h=2r

боковая сторона трапеции b = √a^2 + h^2 = (m-n)^2 /4 + 4r^2

Т.к. в 4-х уголник вписана окружность, то сумма противоположных сторон равна сумме других противоположных сторон

m+n=2b

Возведем обе части в квадрат,чтоб избавится от корня

(m+n)^2=(2b)^2

(m+n)^2=(m-n)^2 + 16r^2

16r^2 = (m+n)^2 - (m-n)^2 = (m+n - m+n)*(m+n + m-n)=2n*2m=4mn

r^2 = mn/4

r= 1/2*√mn

Answer 2

Обозначим радиус вписанной окружности как $r$. Также обозначим радиус описанной окружности как $R$.

Известно, что для вписанной окружности $r$ и полупериметр $p$ трапеции связаны следующим образом:

$r = \sqrt{\frac{(p - a)(p - b)(p - c)}{p}}$,

где $a$ и $b$ - основания трапеции, а $c$ - боковая сторона.

Для описанной окружности и радиуса описанной окружности $R$, диагональ трапеции и сумма длин оснований связаны следующим образом:

$R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{(a + b)^2 + h^2}}{2}$,

где $h$ - высота трапеции.

Также, известно, что длина боковой стороны $c$ равна разнице длин оснований:

$c = |a - b|$.

Периметр трапеции равен $2p = a + b + 2c$.

Полупериметр $p$ равен $\frac{a + b + 2c}{2}$.

Теперь мы имеем систему уравнений, в которой есть две неизвестных $r$ и $h$:

1. $r = \sqrt{\frac{(p - a)(p - b)(p - c)}{p}}$
2. $R = \frac{\sqrt{(a + b)^2 + h^2}}{2}$
3. $c = |a - b|$
4. $2p = a + b + 2c$

Решая эту систему уравнений, мы можем найти $r$. Однако, точное выражение для $r$ может быть достаточно сложным, и оно может содержать корни. На практике решение данной задачи требует довольно объемных вычислений.