Question

Знайдіть площу ромба, якщо його сторона відноситься до більшої діагоналі як 5:8, а менша діагональ дорівнює 24 см. Напишите разьяснение.

Answer 1

Відповідь:

384  см²

Пояснення:

Дано АВСD - ромб, АВ/АС=5/8. BD=24  см. Знайти S(ABCD).

Діагоналі ромба в точці перетину діляться навпіл, тому

АВ/АО=5/4, а ОВ=ОD=12 см.

Нехай АВ=5х см, АО=4х см.

За теоремою Піфагора АВ²=АО²+ОВ²

25х²=144+16х²

9х²=144

х²=16;  х=4.

АС=4*8=32 см

S(ABCD)=1/2 * AC * BD = 1/2 * 32 * 24 = 384  см²

Answer 2

Позначимо сторону ромба як "a", більшу діагональ як "d1", а меншу діагональ як "d2".

За умовою, маємо наступні відношення:

1. Відношення сторони до більшої діагоналі: $\frac{a}{d1} = \frac{5}{8}$
2. Значення меншої діагоналі: $d2 = 24$ см.

Ми можемо використати ці відношення для знаходження сторони та більшої діагоналі:

З відношення 1, можемо виразити сторону ромба: $a = \frac{5}{8} \cdot d1$

Тепер ми знаємо вираз для сторони ромба, і ми також можемо використовувати властивості ромба:

1. Діагоналі ромба перпендикулярні одна до одної.
2. Діагоналі ромба розділяють його на чотири рівних трикутники.

Можемо використати півпериметр ромба $P$ (півсуму всіх його сторін): $P = 2a + 2a = 4a$

Також можемо використовувати півпериметр і меншу діагональ: $P = \frac{d1 + d2}{2}$

Пірівняємо два отриманих вирази для півпериметра: $4a = \frac{d1 + d2}{2}$

Підставимо вираз для сторони $a$, отриманий з відношення 1: $4 \cdot \frac{5}{8} \cdot d1 = \frac{d1 + d2}{2}$

Спростимо вираз: $\frac{5}{2} \cdot d1 = \frac{d1 + d2}{2}$

Подвійним множенням обох сторін на 2 отримаємо: $5 \cdot d1 = d1 + d2$

Відси можемо виразити більшу діагональ: $d1 = d2 = 24$

Отже, більша діагональ також дорівнює 24 см.

Тепер ми можемо знайти площу ромба за допомогою формули для площі ромба, яка включає меншу і більшу діагоналі: $S = \frac{d1 \cdot d2}{2} = \frac{24 \cdot 24}{2} = 288 \, \text{см}^2$

Отже, площа ромба дорівнює 288 квадратним сантиметрам.