Question

В треугольник АВС вписана окружность с центром О. Из точки О к сторонам АВ и АС треугольника проведены перпендикуляры ОК и ОР. Докажите, что АК=АР.

Answer 1

Прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и катету

OK=OP=R

OA-общая, значит равная

AK⊥OK и AP⊥OP так как касательные перпендикулярны радиусу вписанной окружности

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих катетов AK=AP в этих треугольниках

Answer 2

Для доказательства равенства отрезков AK и AR можно воспользоваться следующими свойствами вписанных углов и окружностей:

1. Угол между хордой и хордой, проведенной из одной и той же точки окружности, равен половине угла, образованного этими хордами в центре окружности.
2. Угол, опирающийся на дугу, равен углу, опирающемуся на эту же дугу в другой точке окружности.

Теперь рассмотрим данную ситуацию:

Пусть ОК и ОР пересекают стороны AB и AC соответственно в точках K и R.

1. Рассмотрим треугольник ОКВ. Угол OVK (где V - точка касания окружности с AB) равен углу, образованному хордой VK и диаметром ОВ, который проходит через точку V. Следовательно, угол OVK равен углу ВОК.

2. Аналогично, рассмотрим треугольник ОРУ. Угол ORU (где U - точка касания окружности с AC) равен углу, образованному хордой RU и диаметром ОР, который проходит через точку U. Следовательно, угол ORU равен углу СОР.

Таким образом, у нас есть два равных угла: угол ВОК и угол СОР.

Так как угол BAC является общим для треугольников ОВК и ОРУ, и углы ВОК и СОР равны, то по третьему свойству равных углов у треугольников ОВК и ОРУ соответственно углы при К и Р равны. Это означает, что отрезки AK и AR являются биссектрисами угла BAC.

Следовательно, по свойству биссектрисы в треугольнике, отрезки АК и АР равны между собой: AK = AR.