Question

В окружности проведены 2 хорды АВ и СД пересекающиеся в точке К, КС=6см, ДК=8см, АК+ВК=16см, найдите длины ВК и АК​

Answer 1

Відповідь:

AK = 4 см, а BK = 12 см

Пояснення:

Розглянемо два трикутники ΔAKC i ΔBKD. ∠AKC = ∠BKD - як вертикальні, ∠ACD = ∠ABD - вписані в коло кути, які спираються на дугу AD. ⇒ ΔAKC подібний ΔBKD за двома кутами. У подібних трикутниках відповідні сторони пропорційні:

            KC/BK = AK/DK

BK = 16 - AK

6/(16 - AK) = AK/8

AK * (16 - AK) = 6 * 8

16 * AK - AK^2 = 48

AK^2 - 16 * AK + 48 = 0

Розв'язуємо це квадратне рівняння

x^2 - 16 * x + 48 = 0

D = 16^2 - 4 * 48 = 256 - 192 = 64

x1 = (16 - 8)/2 = 4

x2 = (16 + 8)/2 = 12

AK менша сторона, тому AK = 4 см, а BK = 16 - 4 = 12 см

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами пересекающихся хорд в окружности.

По свойству пересекающихся хорд в окружности произведение отрезков каждой хорды равно. То есть, АК * ВК = СК * ДК.

Из условия задачи, СК = 6 см и ДК = 8 см. Также известно, что АК + ВК = 16 см.

Мы можем записать уравнение: АК * ВК = СК * ДК АК * (16 - АК) = 6 * 8 16АК - АК^2 = 48

Приведем это уравнение к квадратному виду: АК^2 - 16АК + 48 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта: Дискриминант D = (-16)^2 - 4 * 1 * 48 = 256 - 192 = 64

Теперь найдем корни уравнения: АК = (-(-16) ± √64) / (2 * 1) АК = (16 ± 8) / 2 АК = 12 или 4

Если АК = 12, то ВК = 16 - 12 = 4 Если АК = 4, то ВК = 16 - 4 = 12

Таким образом, получаем два возможных решения:

1. ВК = 4 см и АК = 12 см.
2. ВК = 12 см и АК = 4 см.