Question

В равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна 13 и основание 24, вписана окружность. К ней проведена касательная, параллельная основанию. Найдите длину отрезка касательной, ограниченного точками пересечения с боковыми сторонами. (Указание. Докажите подобие треугольников).

Answer 1

В равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна 13 и основание 24, вписана окружность. К ней проведена касательная, параллельная основанию. Найдите длину отрезка касательной, ограниченного точками пересечения с боковыми сторонами. (Указание. Докажите подобие треугольников).

Объяснение:

ΔАВС, АВ=АС=13, ВС=24. Отрезок ЕР-отрезкок касательной, ограниченный  точками пересечения с боковыми сторонами АВ и АС, ЕР║ВС.

Точки касания расположены В-М-А, С-К-А , В-Н-С.

ΔАЕР подобен ΔАВС по двум углам : ∠А-общий, ∠АЕР=∠АВС как соответственные при ЕР║ВС, АВ-секущая. Отношение периметров равно к . Р(АВС)=26+24=50.

Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис , а в равнобедренном треугольнике биссектриса АН совпадает с высотой и медианой. Значит  ВН=НС=24:2=12 .

АМ=АВ-МВ=АВ-ВН=13-12=1 ⇒ АК=1, тк. треугольник равнобедренный.

По свойству отрезков касательных ЕХ=ЕМ  и РХ=РК ⇒Р(АЕР)=2.

к=2/50=1/25.

Тогда ЕР/ВС=1/25 или ЕР=24/25=0,96

Answer 2

Обозначим данный равнобедренный треугольник как ABC, где AB = AC = 24 (основание), и BC = 13 (боковая сторона). Также, пусть точка пересечения касательной с боковой стороной AB обозначается как D, а с AC как E.

Поскольку касательная проведена к вписанной окружности, она перпендикулярна радиусу в точке касания. Радиус окружности в данном случае будет равен половине боковой стороны BC (по свойствам равнобедренного треугольника). Таким образом, радиус r = BC / 2 = 13 / 2 = 6.5.

Теперь давайте рассмотрим треугольники BDC и ADE. Они подобны, так как оба треугольника имеют прямой угол (из перпендикулярности касательной), и угол BDC (вертикальный угол) равен углу ADE (так как треугольник ABC равнобедренный).

Следовательно, по свойству подобных треугольников, отношение длин соответствующих сторон равно отношению длин радиусов:

BD / AD = BC / AC = r.

Мы знаем, что BD + DE = 13 (по длине боковой стороны BC), и DE = AD (так как треугольник ADE равен треугольнику BDC).

Подставив DE = AD в уравнение BD + DE = 13, получаем:

BD + AD = 13, BD + DE = 13, BD + AD = DE, BD = DE - AD, BD = 2 * AD - AD, BD = AD.

Таким образом, BD = AD.

Из равенства BD = AD следует, что треугольник BDC является равнобедренным, и BD = CD.

Из этого следует, что треугольники BDC и ABC подобны, так как у них соответствующие углы равны (прямой угол и угол при вершине B). Следовательно, отношение длин сторон треугольников BDC и ABC также равно отношению длин радиусов:

BD / BC = r.

Подставляя значение r = 6.5 и учитывая, что BD = CD, получаем:

BD / 13 = 6.5, BD = 6.5 * 13, BD = 84.5.

Таким образом, длина отрезка касательной, ограниченного точками пересечения с боковыми сторонами, равна 84.5 единицам.