Question

Хорды окружности AB и СD пересекаются в точке M, таким образом, что AM=MB, а DM:MC = 1:4. Найти длину хорды AB если известно, что CM= 20 см.

Answer 1

Ответ:

20см

Объяснение:

Решение смотри на фотографии

Answer 2

Поскольку дано, что $DM:MC = 1:4$, это означает, что отношение длин $DM$ и $MC$ равно $1:4$. Давайте обозначим $DM = x$ и $MC = 4x$.

Также, по условию, $AM = MB$, что означает, что точка $M$ является серединой хорды $AB$. Таким образом, $AM = MB = \frac{AB}{2}$.

Мы знаем, что $CM = 20$ см, и так как $DM = x$, то $CD = DM + MC = x + 4x = 5x$.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $CDM$:

$(CD)^2 = (CM)^2 + (DM)^2$.

Подставляя известные значения:

$(5x)^2 = (20)^2 + (x)^2$.

Раскроем скобки и решим уравнение:

$25x^2 = 400 + x^2$, $24x^2 = 400$, $x^2 = \frac{400}{24}$, $x^2 = \frac{100}{6}$, $x^2 = \frac{50}{3}$.

Теперь мы можем найти длину хорды $AB$, используя $AM = MB = \frac{AB}{2}$:

$\frac{AB}{2} = x + 4x$, $\frac{AB}{2} = 5x$.

Подставляем значение $x^2 = \frac{50}{3}$:

$\frac{AB}{2} = 5 \sqrt{\frac{50}{3}}$, $AB = 10 \sqrt{\frac{50}{3}}$, $AB = 10 \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{3}}$, $AB = 10 \frac{\sqrt{25 \cdot 2}}{\sqrt{3}}$, $AB = 10 \frac{5 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$, $AB = 50 \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$, $AB = \frac{50 \sqrt{6}}{3}$.

Итак, длина хорды 0 0