Question

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB=30, CD=16, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 8

Answer 1

Ответ:

15

Объяснение:

Треугольник AOB равнобедренный, так как AO=OB – как радиусы окружности. OM – расстояние от точки O до хорды AB, то есть,ОМ перпендикулярна АВ , получаем, что OM – высота и медиана (AM=MB) треугольника AOB. Так как AB=30, то AM=15. Найдем длину AO из прямоугольного треугольника AMO по теореме Пифагора:

АО= √ОМ^2+AM^2 = √8^2+15^2 = 17

Также это означает, что OC=OD=AO=17. Рассмотрим прямоугольный треугольник OCH (OH – расстояние от точки O до хорды CD) со стороной CH=CD:2=8. По теореме Пифагора находим длину OH:

OH = √OC^2-CH^2 = √17^2-8^2 = 15

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойством перпендикулярности хорды и радиуса окружности.

По условию, расстояние от центра окружности до хорды AB равно 8. Это означает, что из центра окружности опущена перпендикулярная прямая на хорду AB, которая делит её пополам.

Таким образом, получаем два равнобедренных треугольника: один треугольник со стороной AB и боковыми сторонами равными радиусу окружности, а другой треугольник со стороной CD и боковыми сторонами равными искомому расстоянию.

Поскольку треугольники равнобедренные, можно использовать соотношение между сторонами равнобедренного треугольника: сторона равнобедренного треугольника под углом α равна произведению боковых сторон, деленному на основание.

Применяя это свойство к треугольникам с хордами AB и CD, получаем:

AB^2 = 2 * R^2, где R - радиус окружности. CD^2 = 2 * d^2, где d - расстояние от центра окружности до хорды CD.

Известно, что AB = 30 и CD = 16. Также из условия известно, что AB = 2 * R - 2R - радиус окружности. Подставляя эти значения в первое уравнение, получаем:

30^2 = 2 * R^2 900 = 2 * R^2 450 = R^2 R = √450 R = 15√2

Теперь мы можем решить второе уравнение, подставив известные значения:

16^2 = 2 * d^2 256 = 2 * d^2 128 = d^2 d = √128 d = 8√2

Таким образом, расстояние от центра окружности до хорды CD равно 8√2.